Encontre a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \).

Para resolver a integral \( \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos definir: \( u = e^{3x} \) Então, a derivada de \( u \) em relação a \( x \) é: \( du = 3e^{3x} \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{3e^{3x}} = \frac{du}{3u} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx = \int \sin(2u) \cdot \frac{du}{3u} = \frac{1}{3} \int \frac{\sin(2u)}{u} \, du. \] A integral \( \int \frac{\sin(2u)}{u} \, du \) não possui uma solução elementar, mas pode ser expressa em termos da função integral \( \text{Si}(x) \): \[ \int \frac{\sin(2u)}{u} \, du = \text{Si}(2u) + C. \] Portanto, a solução da integral original é: \[ \int e^{3x} \sin(2e^{3x}) \, dx = \frac{1}{3} \text{Si}(2e^{3x}) + C, \] onde \( C \) é a constante de integração.