Qual é a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\)? A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\) C) \(3x^2 \ln(x) + x\) D) \(2x \ln(x) + x\)

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = x^3 \ln(x)\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = x^3\) e \(u'(x) = 3x^2\) - \(v(x) = \ln(x)\) e \(v'(x) = \frac{1}{x}\) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (3x^2)(\ln(x)) + (x^3)\left(\frac{1}{x}\right) \] Simplificando a segunda parte: \[ f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \] Portanto, a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\) é: A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\) Assim, a alternativa correta é a) \(3x^2 \ln(x) + x^2\).