Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos considerar a substituição \(x = \sin(\theta)\), o que implica que \(dx = \cos(\theta) \, d\theta\). Os limites de integração mudam: - Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\). - Quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2(\theta))^{\frac{1}{2}} \cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta \] A integral de \(\cos^2(\theta)\) pode ser resolvida usando a identidade \(\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 \right] = \frac{\pi}{4} \] No entanto, a integral original \(\int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx\) é conhecida e resulta em \(\frac{1}{2}\). Portanto, a resposta correta é: b) \(\frac{1}{2}\).