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Qual é a integral de \(f(x) = \sin(x^2)\)? a) \(-\cos(x^2) + C\) b) Não existe forma elementar c) \(\sin(x^2) + C\) d) \(\tan(x^2) + C\)

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A integral da função \(f(x) = \sin(x^2)\) não possui uma forma elementar, ou seja, não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. A integral é geralmente representada pela função especial chamada de "função Fresnel". Analisando as alternativas: a) \(-\cos(x^2) + C\) - Esta não é a integral correta. b) Não existe forma elementar - Esta é a alternativa correta. c) \(\sin(x^2) + C\) - Esta não é a integral correta. d) \(\tan(x^2) + C\) - Esta não é a integral correta. Portanto, a resposta correta é: b) Não existe forma elementar.

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Calcule a integral:
\[ \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx \]
a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{1}{3}\)
d) \(\frac{1}{6}\)
**Resposta:** b) \(\frac{1}{2}\)
**Explicação:** Usando a substituição \(u = 1 - x^2\):
\[ \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \]

a) \(\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{1}{3}\)
d) \(\frac{1}{6}\)

Qual é a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\)?

A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)
B) \(3x^2 \ln(x) + 3x\)
C) \(3x^2 \ln(x) + x\)
D) \(2x \ln(x) + x\)

Calcule a integral:
\[ \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx \]
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
**Resposta:** b) 1
**Explicação:** Integrando:
\[ \int (x^4 - 2x^3 + 3) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 3x\right]_0^1 = 1 \]

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Qual é a derivada de \( f(x) = x^4 + 4x^2 + 4 \)?

a) 4x^3 + 8x
b) 4x^3 + 4
c) 4x^3 + 2
d) 4x^3 + 2x

Calcule a integral:
\[ \int_0^1 (1 - x)^{2} \, dx \]
a) \(\frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{4}\)
c) \(\frac{1}{5}\)
d) \(\frac{1}{6}\)
**Resposta:** a) \(\frac{1}{3}\)
**Explicação:** Integrando:
\[ \int (1 - x)^{2} \, dx = \left[-\frac{(1 - x)^{3}}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \]

a) \(\frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{4}\)
c) \(\frac{1}{5}\)
d) \(\frac{1}{6}\)

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