Calcule a integral: ∫_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3) dx a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-x^3\). 3. A antiderivada de \(3\) é \(3x\). Portanto, a antiderivada de \(f(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 3x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^3 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{4} - 1 + 3 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} + \frac{12}{4} = \frac{9}{4}\) - \(F(0) = \frac{0^4}{4} - 0^3 + 3 \cdot 0 = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4} \] Como \(\frac{9}{4} = 2,25\), nenhuma das alternativas está correta. Por favor, verifique as opções ou a função a ser integrada.