Qual é a derivada de $f(x) = \sqrt{5x^2 + 3}$?a) $\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$b) $\frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$c) $\frac{1}{\sqrt{5x^2 + 3}}$d) $\frac{5}{\sqrt{5x^2 + 3}}$

Question

Qual é a derivada de $f(x) = \sqrt{5x^2 + 3}$?

a) $\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$
b) $\frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$
c) \(\frac{1}{\sqrt{5x^2 + 3...

Ed · Answer

Para encontrar a derivada da função $f(x) = \sqrt{5x^2 + 3}$, vamos usar a regra da cadeia.

1. **Identifique a função externa e a interna**:
   - Função externa: $u^{1/2}$ onde $u = 5x^2 + 3$
   - Função interna: $u = 5x^2 + 3$

2. **Derivada da função externa**:
   - A derivada de $u^{1/2}$ em relação a $u$ é $\frac{1}{2}u^{-1/2}$.

3. **Derivada da função interna**:
   - A derivada de $u = 5x^2 + 3$ em relação a $x$ é $10x$.

4. **Aplicando a regra da cadeia**:
   $$
   f'(x) = \frac{1}{2}(5x^2 + 3)^{-1/2} \cdot 10x
   $$
   Simplificando:
   $$
   f'(x) = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2 + 3}} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}
   $$

Agora, analisando as alternativas:
a) $\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$ - Correta.
b) $\frac{10x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$ - Incorreta.
c) $\frac{1}{\sqrt{5x^2 + 3}}$ - Incorreta.
d) $\frac{5}{\sqrt{5x^2 + 3}}$ - Incorreta.

Portanto, a alternativa correta é: **a) $\frac{5x}{\sqrt{5x^2 + 3}}$**.

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Problema: Calcule a integral \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \).

A) 1
B) \( \ln(e) \)
C) \( \ln(e) - \ln(1) \)
D) \( e - 1 \)

65. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) Não existe

Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\).

a) 0
b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{5}\)
d) \(\frac{1}{6}\)

Calcule \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}.

a) 0
b) 1
c) \infty
d) Não existe

Qual é o valor de \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) dx?

A) \frac{1}{4}
B) 0
C) \frac{1}{3}
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Calcule \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).

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65. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).A) 0B) 1C) \( \infty \)D) Não existe

Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\).a) 0b) \(\frac{1}{3}\)c) \(\frac{1}{5}\)d) \(\frac{1}{6}\)

Calcule \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}.a) 0b) 1c) \inftyd) Não existe

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