Calcule: ext{int}_0^{ ext{pi}} ext{sin}^2(x) ext{dx} a) rac{ ext{pi}}{2} b) rac{ ext{pi}}{4} c) rac{ ext{pi}}{3} d) rac{ ext{pi}}{6}

Para calcular a integral \(\int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx\), podemos usar a identidade trigonométrica: \[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Isso pode ser separado em duas integrais: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx \] Calculando a primeira integral: \[ \int_0^{\pi} 1 \, dx = \pi \] Agora, a segunda integral: \[ \int_0^{\pi} \cos(2x) \, dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0 \] Portanto, temos: \[ \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2} \] Assim, a resposta correta é: a) \(\frac{\pi}{2}\)