Para resolver a inequação \( \sin(x) + 1 > \sin^2(x) \) no intervalo \( x \in [0, 2\pi] \), vamos reescrever a inequação: 1. A inequação pode ser rearranjada para \( \sin(x) + 1 - \sin^2(x) > 0 \). 2. Isso se torna \( -\sin^2(x) + \sin(x) + 1 > 0 \). 3. Podemos multiplicar a inequação por -1 (lembrando que isso inverte o sinal) e reescrever como \( \sin^2(x) - \sin(x) - 1 < 0 \). Agora, precisamos encontrar as raízes da equação \( \sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \) usando a fórmula de Bhaskara: \[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] As raízes são \( \sin(x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) e \( \sin(x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \). A primeira raiz é maior que 1, então não é válida, e a segunda raiz é negativa, então não precisamos dela. Agora, precisamos analisar o sinal da função \( \sin^2(x) - \sin(x) - 1 \) no intervalo \( [0, 2\pi] \). Após a análise, encontramos que a inequação é satisfeita em dois intervalos: - \( (0, \frac{\pi}{4}) \) - \( (\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}) \) Portanto, a alternativa correta é: c) \( (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}) \)