Para determinar \( T(5, 3, -2) \) usando a transformação linear \( T \) e a base \( B = (v_1, v_2, v_3) \), precisamos expressar o vetor \( (5, 3, -2) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B \). Os vetores da base são: - \( v_1 = (0, 1, 0) \) - \( v_2 = (1, 0, 1) \) - \( v_3 = (1, 1, 0) \) Vamos encontrar os coeficientes \( a, b, c \) tais que: \[ a(0, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(1, 1, 0) = (5, 3, -2) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( b + c = 5 \) (para a primeira coordenada) 2. \( a + c = 3 \) (para a segunda coordenada) 3. \( b = -2 \) (para a terceira coordenada) Substituindo \( b = -2 \) na primeira equação: \[ -2 + c = 5 \implies c = 7 \] Agora, substituindo \( c = 7 \) na segunda equação: \[ a + 7 = 3 \implies a = -4 \] Portanto, temos: \[ (5, 3, -2) = -4v_1 - 2v_2 + 7v_3 \] Agora, aplicamos a transformação \( T \): \[ T(5, 3, -2) = -4T(v_1) - 2T(v_2) + 7T(v_3) \] Substituindo os valores de \( T(v_1), T(v_2) \) e \( T(v_3) \): \[ T(5, 3, -2) = -4(1, -2) - 2(3, 1) + 7(0, 2) \] Calculando cada parte: \[ -4(1, -2) = (-4, 8) \] \[ -2(3, 1) = (-6, -2) \] \[ 7(0, 2) = (0, 14) \] Agora somamos: \[ (-4, 8) + (-6, -2) + (0, 14) = (-4 - 6 + 0, 8 - 2 + 14) = (-10, 20) \] Portanto, a resposta correta é: B) \( T(5, 3, -2) = (-10, 20) \)