Calcule o Determinante da matriz a seguir: 4 7 31 -5 - 8 - 1 3 32 0

Para calcular o determinante da matriz \( A \): \[ A = \begin{bmatrix} 4 & 7 & 31 \\ -5 & -8 & -1 \\ 3 & 32 & 0 \end{bmatrix} \] Usamos a regra de Sarrus ou a fórmula do determinante para matrizes 3x3. O determinante é dado por: \[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] onde \( a, b, c \) são os elementos da primeira linha, e \( d, e, f, g, h, i \) são os elementos da matriz: \[ \text{det}(A) = 4 \cdot (-8 \cdot 0 - (-1) \cdot 32) - 7 \cdot (-5 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) + 31 \cdot (-5 \cdot 32 - (-8) \cdot 3) \] Calculando cada parte: 1. \( -8 \cdot 0 - (-1) \cdot 32 = 0 + 32 = 32 \) 2. \( -5 \cdot 0 - (-1) \cdot 3 = 0 + 3 = 3 \) 3. \( -5 \cdot 32 - (-8) \cdot 3 = -160 + 24 = -136 \) Substituindo na fórmula: \[ \text{det}(A) = 4 \cdot 32 - 7 \cdot 3 + 31 \cdot (-136) \] Calculando: 1. \( 4 \cdot 32 = 128 \) 2. \( 7 \cdot 3 = 21 \) 3. \( 31 \cdot (-136) = -4296 \) Agora, somando tudo: \[ \text{det}(A) = 128 - 21 - 4296 = 128 - 21 - 4296 = -4189 \] Portanto, o determinante da matriz é: \[ \text{det}(A) = -4189 \]