Exercício 29. Verificar se y = e²ˣ sin(5x) é solução da equação diferencial y′′ − 4y′ + 29y = 0.

Para verificar se \( y = e^{2x} \sin(5x) \) é solução da equação diferencial \( y'' - 4y' + 29y = 0 \), você deve seguir os seguintes passos: 1. Calcular \( y' \) (primeira derivada): \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{2x} \sin(5x)) = e^{2x} \sin(5x) \cdot 2 + e^{2x} \cos(5x) \cdot 5 = e^{2x}(2\sin(5x) + 5\cos(5x)) \] 2. Calcular \( y'' \) (segunda derivada): \[ y'' = \frac{d}{dx}(e^{2x}(2\sin(5x) + 5\cos(5x))) \] Usando a regra do produto: \[ y'' = e^{2x}(2\sin(5x) + 5\cos(5x)) \cdot 2 + e^{2x}(10\cos(5x) - 25\sin(5x)) \] Simplificando: \[ y'' = e^{2x}((4\sin(5x) + 10\cos(5x)) + (10\cos(5x) - 25\sin(5x))) = e^{2x}(-21\sin(5x) + 20\cos(5x)) \] 3. Substituir \( y \), \( y' \) e \( y'' \) na equação diferencial: \[ y'' - 4y' + 29y = e^{2x}(-21\sin(5x) + 20\cos(5x)) - 4e^{2x}(2\sin(5x) + 5\cos(5x)) + 29e^{2x}\sin(5x) \] 4. Simplificar a expressão: \[ = e^{2x}(-21\sin(5x) + 20\cos(5x) - 8\sin(5x) - 20\cos(5x) + 29\sin(5x)) \] \[ = e^{2x}((-21 - 8 + 29)\sin(5x) + (20 - 20)\cos(5x)) \] \[ = e^{2x}(0\sin(5x) + 0\cos(5x)) = 0 \] Como a equação se iguala a zero, podemos concluir que \( y = e^{2x} \sin(5x) \) é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.