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Se A é uma matriz quadrada invertível, então A det [A × A^T] = [det A]², em que A^T é a matriz transposta da matriz A. B det [A + A] = 2 × det A. C det A + det A^T = 0. D det [A + A^(-1)] = 0. E det A = det A^(-1).

A) Verdadeira.
B) Falsa, pois det(A+B) ≠ det(A) + det(B).
C) Falsa, pois det(A) + det(A^T) = det(A) + det(A) = 2 det(A).
D) Falsa, pois det(A) + det(A^(-1)) = det(A) + 1/det(A).
E) Falsa, pois det(A^(-1)) = 1/det(A).
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Álgebra Linear - PTBR
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Vamos analisar cada uma das afirmações para determinar se são verdadeiras ou falsas: A) "det [A × A^T] = [det A]²" - Esta afirmação é verdadeira. Para uma matriz quadrada invertível A, a relação entre o determinante da matriz e sua transposta é válida. B) "det [A + A] = 2 × det A" - Esta afirmação é falsa, pois a propriedade do determinante não se aplica dessa forma. O determinante de uma soma de matrizes não é igual à soma dos determinantes. C) "det A + det A^T = 0" - Esta afirmação é falsa. Como mencionado, det(A) = det(A^T), então a soma seria 2 det(A), não zero. D) "det [A + A^(-1)] = 0" - Esta afirmação é falsa. O determinante de A + A^(-1) não é necessariamente zero. E) "det A = det A^(-1)" - Esta afirmação é falsa. Na verdade, det(A^(-1)) = 1/det(A). Agora, analisando as alternativas: A) Verdadeira. B) Falsa, pois det(A+B) ≠ det(A) + det(B). C) Falsa, pois det(A) + det(A^T) = 2 det(A). D) Falsa, pois det(A) + det(A^(-1)) = det(A) + 1/det(A). E) Falsa, pois det(A^(-1)) = 1/det(A). Portanto, a única afirmação verdadeira é a primeira: A) Verdadeira.

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Sejam α e β duas bases do R2 tais que a matriz mudança de base, de α para β, é dada por 5 3 6 4. A matriz mudança de base, de β para α, é dada por:

(A) 5 6 3 4
(B) 4 3 6 5
(C) 5 6 3 4
(D) 3 2 2 5 3 2
(E) 3 2 2 5 3 2

Considere a transformação linear T : R3 →R3 definida pela matriz 4 1 6 A 2 1 6 2 1 8. O número real 2 é um autovalor da transformação T. Uma base do autoespaço associado a tal autovalor é:

(A) {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}
(B) {(2,1,0);(−3,1,0)}
(C) {(1,2,0);(−3,0,1)}
(D) {(1,1,0)}
(E) {(3,0,−1)}

Considere V um espaço vetorial e 1 2 3 nv ,v ,v ,..., v elemen- tos de V. Considere U o subespaço de V gerado por tais n elementos. Dizer que o conjunto {v1, v2, v3, ..., vn} é linearmente dependente é o mesmo que dizer que a dimensão do espaço:

(A) U é igual a n.
(B) U é menor do que n.
(C) U é menor do que a dimensão do espaço V.
(D) V é menor do que a dimensão do espaço U.
(E) V é a dimensão do espaço U adicionada a n.

Considere os vetores u (1, 2,3) e v (1,1,3). Um vetor w do R3 é simultaneamente normal aos vetores u e v e possui componente z igual a 1. A soma das duas outras componentes do vetor w é:

(A) −9
(B) −3
(C) 0
(D) 3
(E) 9

Os vetores u, v e w são tais que u + v + w = 0, onde w é o vetor nulo. Se denota o produto escalar entre os vetores x e y, e u·u = 1 e v·v = 1, o valor de u·v + v·w + w·u é igual a:

(A) −4
(B) −2
(C) 0
(D) 2
(E) 4

Considerando os vetores u e v unitários, tais que o produto interno u.v = −1, a soma u + v será um vetor:

(A) unitário
(B) de módulo 2
(C) nulo
(D) paralelo a u
(E) igual à diferença u − v

Se um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial, então qualquer vetor desse espaço pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores do conjunto. Qual dos conjuntos a seguir é uma base para o espaço vetorial IR2?

(A) {(−1,2)}
(B) {(1,1),(3,3)}
(C) {(0,0), (3,4)}
(D) {(3,1), (8,3)}
(E) {(1,2), (3,5), (1,0)}

Todos os vetores da ilustração acima têm o mesmo módulo. Se E1, E2 e E3 são os produtos escalares dos vetores das Figuras 1, 2 e 3, respectivamente, então:

(A) E1 = E2 = E3
(B) E1 < E3 e E2 = 0
(C) E1 < E2 e E3 = 0
(D) E1 < E2 < E3
(E) E3 < E2 < E1

Considere os vetores u = (1/2, 1/2) e v = (3/5, -4/5). Sobre esses vetores tem-se que

(A) são ortogonais.
(B) são ambos unitários.
(C) têm mesma direção.
(D) formam ângulo obtuso.
(E) apenas o vetor u é unitário.

Seja T uma transformação linear de em tal que T(u) = (–1, 2) e T(v) = (0,3), onde u e v são vetores de . Sendo a e b reais não nulos, tem-se que T(au + bv) é igual a

(A) (–a , 2a+3b)
(B) (–a+2b , 3b)
(C) (–b , 2b+3a)
(D) (–b+2a , 3a)
(E) (–a , 5b)

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