Para determinar o ângulo entre os planos dados pelas equações \(2x + y - z + 3 = 0\) e \(y - 4 = 0\), precisamos identificar os vetores normais de cada plano. 1. Plano a: A equação \(2x + y - z + 3 = 0\) tem um vetor normal \( \vec{n_1} = (2, 1, -1) \). 2. Plano b: A equação \(y - 4 = 0\) é um plano vertical, e seu vetor normal é \( \vec{n_2} = (0, 1, 0) \). O ângulo \( \theta \) entre os dois planos pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] Calculando o produto escalar: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2, 1, -1) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 1 \] Agora, calculamos as normas dos vetores: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] Substituindo na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] Agora, para encontrar o ângulo \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \] A partir da tabela de valores conhecidos, podemos verificar que: - \( \frac{\pi}{4} \) rad ≈ 0.785 rad - \( \frac{\pi}{6} \) rad ≈ 0.524 rad - \( \frac{2\pi}{5} \) rad ≈ 1.256 rad - \( \frac{2\pi}{3} \) rad ≈ 2.094 rad O valor de \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \) se aproxima de \( \frac{\pi}{4} \) rad. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{\pi}{4} \) rad.