Para determinar o ângulo entre os planos dados pelas equações, precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. 1. Plano a: 2x + y - z + 3 = 0 - O vetor normal \( \vec{n_a} \) é dado pelos coeficientes de \( x, y, z \): \( \vec{n_a} = (2, 1, -1) \). 2. Plano ß: x + y - 4 = 0 - O vetor normal \( \vec{n_b} \) é: \( \vec{n_b} = (1, 1, 0) \). 3. Cálculo do ângulo entre os vetores normais: O cosseno do ângulo \( \theta \) entre os vetores normais é dado pela fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_a} \cdot \vec{n_b}}{||\vec{n_a}|| \cdot ||\vec{n_b}||} \] - Primeiro, calculamos o produto escalar \( \vec{n_a} \cdot \vec{n_b} \): \[ \vec{n_a} \cdot \vec{n_b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3 \] - Agora, calculamos as normas dos vetores: \[ ||\vec{n_a}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ ||\vec{n_b}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] - Agora, substituímos na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 4. Encontrando o ângulo: O ângulo \( \theta \) que tem \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) é \( \theta = \frac{\pi}{6} \) radianos. Portanto, a alternativa correta é: E) p/6 rad.