Álgebra Linear

Colégio Objetivo

Exerćıcio 4. Sejam u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8,−2) e w = (3, 1, 2, 2). Calcule cada expressão abaixo.

Estudando com Questões

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há 2 anos

Parece que você não incluiu as expressões que deseja calcular com os vetores \( u \), \( v \) e \( w \). Por favor, forneça as expressões específicas que você gostaria que eu calculasse, e ficarei feliz em ajudar!

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Exerćıcio 1. Mostre que, se T : R2 → R2 é uma transformação linear qualquer e Tk : R2 → R2 é uma dilatação ou contração, então T ◦ Tk = Tk ◦ T.

Exerćıcio 3. Mostre que uma rotação em R2 é injetiva e encontre a inversa.

Exerćıcio 8. Encontre os autovalores, os respectivos auto-espaços, diga qual a dimensão desses auto-espaços das seguintes matrizes. A = [1 0; −0 −1], B = [−1 1 0; 1 −1 0; 0 0 4], C = [0 −1; 1 0]

Exerćıcio 9. Considere T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (2x+ 3y, y, 2z). a) Obtenha todos os autovalores de T.

c) A transformação linear T é invert́ıvel? Justifique.

Exerćıcio 10. Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por T (x1, x2, x3) = (3x1 + x2,−2x1 − 4x2 + 3x3, 5x1 + 4x2 − 2x3). Determine se T é injetor e, se for, encontre T−1.

Exerćıcio 11. Considere a transformação linear T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ 2y, 2x+ 3y). a) A transformação T é injetora? Justifique.

b) A transformação T é sobrejetora? Justifique.

c) O vetor (1, 1, 1) está na imagem de T? Justifique.

Exercício 12. Seja N ⊂ M2×2 o subconjunto das matrizes de tamanho 2× 2 formado por todas as matrizes da forma [ x y 2x+ y x− y ], x, y ∈ R. Verifique que o subconjunto N é um subespaço vetorial de M2×2, obtenha uma base para N e determine a sua dimensão.

Exercício 13. Seja W ⊂ V um subespaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que o complemento ortogonal de W, dado por W⊥ = {u ∈ V | < u,w >= 0, para qualquer w ∈ W} é um subespaço vetorial.

Exercício 14. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o núcleo e a imagem de T são subespaços vetoriais de V e W, respectivamente.

Exercício 16. Encontre a composição (T1 ◦ T2)(x, y) em cada caso: 1. T1(x1, x2) = (2x1, 3x2), T2(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2)

Exercício 17. Em cada parte, T : R3 → R3 é a transformação linear dada pela multiplicação pela matriz A. Determine se T tem inversa. Se tiver, a encontre.

Exercício 18. Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores dados por T1(x, y) = (x+ y, x− y) e T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y). 1. Mostre que T1 e T2 são injetoras.

Álgebra Linear

Exerćıcio 4. Sejam u = (4, 1, 2, 3), v = (0, 3, 8,−2) e w = (3, 1, 2, 2). Calcule cada expressão abaixo.

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Exerćıcio 1. Mostre que, se T : R2 → R2 é uma transformação linear qualquer e Tk : R2 → R2 é uma dilatação ou contração, então T ◦ Tk = Tk ◦ T.

Exerćıcio 3. Mostre que uma rotação em R2 é injetiva e encontre a inversa.

Exerćıcio 8. Encontre os autovalores, os respectivos auto-espaços, diga qual a dimensão desses auto-espaços das seguintes matrizes. A = [1 0; −0 −1], B = [−1 1 0; 1 −1 0; 0 0 4], C = [0 −1; 1 0]

Exerćıcio 9. Considere T : R3 → R3 a transformação linear dada por T (x, y, z) = (2x+ 3y, y, 2z). a) Obtenha todos os autovalores de T.

c) A transformação linear T é invert́ıvel? Justifique.

Exerćıcio 10. Seja T : R3 → R3 o operador linear definido por T (x1, x2, x3) = (3x1 + x2,−2x1 − 4x2 + 3x3, 5x1 + 4x2 − 2x3). Determine se T é injetor e, se for, encontre T−1.

Exerćıcio 11. Considere a transformação linear T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x+ y, x+ 2y, 2x+ 3y). a) A transformação T é injetora? Justifique.

b) A transformação T é sobrejetora? Justifique.

c) O vetor (1, 1, 1) está na imagem de T? Justifique.

Exercício 12. Seja N ⊂ M2×2 o subconjunto das matrizes de tamanho 2× 2 formado por todas as matrizes da forma [ x y 2x+ y x− y ], x, y ∈ R. Verifique que o subconjunto N é um subespaço vetorial de M2×2, obtenha uma base para N e determine a sua dimensão.

Exercício 13. Seja W ⊂ V um subespaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que o complemento ortogonal de W, dado por W⊥ = {u ∈ V | < u,w >= 0, para qualquer w ∈ W} é um subespaço vetorial.

Exercício 14. Seja T : V → W uma transformação linear. Mostre que o núcleo e a imagem de T são subespaços vetoriais de V e W, respectivamente.

Exercício 16. Encontre a composição (T1 ◦ T2)(x, y) em cada caso: 1. T1(x1, x2) = (2x1, 3x2), T2(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2)

Exercício 17. Em cada parte, T : R3 → R3 é a transformação linear dada pela multiplicação pela matriz A. Determine se T tem inversa. Se tiver, a encontre.

Exercício 18. Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 os operadores dados por T1(x, y) = (x+ y, x− y) e T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y). 1. Mostre que T1 e T2 são injetoras.

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