Para determinar em qual dos intervalos há uma raiz real da função \( f(x) = \ln(x) - 2\sen(x) \), podemos usar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos analisar os intervalos fornecidos: 1. Intervalo [1, 2]: - \( f(1) = \ln(1) - 2\sen(1) = 0 - 2\sen(1) < 0 \) (já que \(\sen(1) > 0\)) - \( f(2) = \ln(2) - 2\sen(2) \) (precisamos calcular, mas sabemos que \(\ln(2) > 0\) e \(\sen(2) < 1\), então \( f(2) > 0\)) - Portanto, \( f(1) < 0 \) e \( f(2) > 0 \) indica que há uma raiz em [1, 2]. 2. Intervalo [4, 5]: - \( f(4) = \ln(4) - 2\sen(4) \) (precisamos calcular) - \( f(5) = \ln(5) - 2\sen(5) \) (precisamos calcular) - Não podemos afirmar sem calcular. 3. Intervalo [5, 6]: - \( f(5) = \ln(5) - 2\sen(5) \) (precisamos calcular) - \( f(6) = \ln(6) - 2\sen(6) \) (precisamos calcular) - Não podemos afirmar sem calcular. 4. Intervalo [3, 4]: - \( f(3) = \ln(3) - 2\sen(3) \) (precisamos calcular) - \( f(4) = \ln(4) - 2\sen(4) \) (precisamos calcular) - Não podemos afirmar sem calcular. 5. Intervalo [2, 3]: - \( f(2) > 0 \) e \( f(3) = \ln(3) - 2\sen(3) \) (precisamos calcular) - Não podemos afirmar sem calcular. Após essa análise, podemos concluir que o intervalo onde há uma mudança de sinal e, portanto, uma raiz real é: a. I [1, 2].