Uma casa tem um cabo elétrico mal dimensionado, de resistência igual a 10 Ω, que a conecta à rede elétrica de 120 V. Nessa casa, cinco lâmpadas, de resistência igual a 200 Ω, estão conectadas ao mesmo circuito que uma televisão de resistência igual a 50 Ω, conforme ilustrado no esquema. A televisão funciona apenas com tensão entre 90 V e 130 V.
O número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que a televisão pare de funcionar é:
A 1.
B 2.
C 3.
D 4.
E 5.

Question

Uma casa tem um cabo elétrico mal dimensionado, de resistência igual a 10 Ω, que a conecta à rede elétrica de 120 V. Nessa casa, cinco lâmpadas, de...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos calcular a resistência total do circuito e a tensão que cai sobre a televisão, considerando a resistência do cabo e das lâmpadas.

1. **Resistência das lâmpadas**: Cada lâmpada tem uma resistência de 200 Ω. Se ligarmos $ n $ lâmpadas, a resistência total das lâmpadas será $ R_{lâmpadas} = n \times 200 \, \Omega $.

2. **Resistência total do circuito**: A resistência total do circuito será a soma da resistência do cabo e da resistência das lâmpadas e da televisão:
   $$
   R_{total} = R_{cabo} + R_{lâmpadas} + R_{tv} = 10 \, \Omega + (n \times 200 \, \Omega) + 50 \, \Omega
   $$
   $$
   R_{total} = 60 \, \Omega + n \times 200 \, \Omega
   $$

3. **Cálculo da corrente**: Usando a Lei de Ohm, a corrente $ I $ que passa pelo circuito é dada por:
   $$
   I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{120 \, V}{60 \, \Omega + n \times 200 \, \Omega}
   $$

4. **Tensão na televisão**: A tensão na televisão $ V_{tv} $ pode ser calculada pela fórmula:
   $$
   V_{tv} = I \times R_{tv} = \frac{120 \, V}{60 + n \times 200} \times 50
   $$

5. **Condições para a televisão funcionar**: A televisão funciona entre 90 V e 130 V. Portanto, precisamos garantir que:
   $$
   90 \leq \frac{120 \times 50}{60 + n \times 200} \leq 130
   $$

6. **Resolvendo a desigualdade**:
   - Para a parte inferior:
   $$
   90 \leq \frac{6000}{60 + n \times 200}
   $$
   $$
   90(60 + n \times 200) \leq 6000
   $$
   $$
   5400 + 90n \times 200 \leq 6000
   $$
   $$
   90n \times 200 \leq 600
   $$
   $$
   n \leq \frac{600}{18000} = \frac{1}{30} \text{ (não faz sentido, vamos resolver a parte superior)}
   $$

- Para a parte superior:
   $$
   \frac{6000}{60 + n \times 200} \leq 130
   $$
   $$
   6000 \leq 130(60 + n \times 200)
   $$
   $$
   6000 \leq 7800 + 2600n
   $$
   $$
   -1800 \leq 2600n
   $$
   $$
   n \geq 0 \text{ (sempre verdadeiro)}
   $$

7. **Testando valores de n**:
   - Para $ n = 0 $: $ V_{tv} = 120 \, V $ (ok)
   - Para $ n = 1 $: $ R_{total} = 60 + 200 = 260 \, \Omega $ → $ I = \frac{120}{260} $ → $ V_{tv} = I \times 50 $ (ok)
   - Para $ n = 2 $: $ R_{total} = 60 + 400 = 460 \, \Omega $ → $ I = \frac{120}{460} $ → $ V_{tv} $ (ok)
   - Para $ n = 3 $: $ R_{total} = 60 + 600 = 660 \, \Omega $ → $ I = \frac{120}{660} $ → $ V_{tv} $ (ok)
   - Para $ n = 4 $: $ R_{total} = 60 + 800 = 860 \, \Omega $ → $ I = \frac{120}{860} $ → $ V_{tv} $ (ok)
   - Para $ n = 5 $: $ R_{total} = 60 + 1000 = 1060 \, \Omega $ → $ I = \frac{120}{1060} $ → $ V_{tv} $ (não funciona)

Portanto, o número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que a televisão pare de funcionar é **4**.

A alternativa correta é: **D 4.**

Matemática

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