Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). A) 0 B) \( -\frac{1}{2} \) C) 1 D) Não existe

Para calcular o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \), podemos usar a série de Taylor para \( \cos(x) \) em torno de \( x = 0 \): \[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \cos(x) - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4) \] Assim, a expressão se torna: \[ \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^4)}{x^2} = -\frac{1}{2} + O(x^2) \] Quando \( x \to 0 \), o termo \( O(x^2) \) tende a 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} \] Assim, a alternativa correta é: B) \( -\frac{1}{2} \).