mostre que se N é um número impar então 8 divide n ^ 2 - 1

Sabe fazer por indução?

É a melhor opção para essa domonstração.

Se n é ímpar, n é da forma 2k+1

logo, 8| (2k +1)^2  - 1 e, se 8 | (2k+1)^2 - 1 então existe um q inteiro t.q. 

(2k + 1)^2 - 1 = 8q desenvolvendo... temos 

4(k^2 + k) = 8q como k^2 + k é par, então é da forma 2k

4 * 2k = 8q 

8k = 8q logo 8| 8k cqd