a Justiça do Trabalho julgar o crime constatado em seu processo?

Não, a competência é da seara penal. Falsificação de documento, falso testemunho, são crimes previsto no código penal. Vide art. 114, da CF/88, que dispõe sobre a competência da JT.

Durante essa situação o juiz trabalhista não poderá julgar o crime. O que ocorrerá é o sobrestamento do processo trabalhista e a abertura do inquérito policial para investigação, por parte da Polícia Federal, da existência ou não de indícios de autoria e materialidade.Caso essa justa causa penal esteja presente, pode haver o oferecimento da ação penal. O juiz trabalhista não possui competência penal (art. 114 da Constituição Federal), deve-se respeitar a competência cristalizada no art. 144, §1º, I da Constituição Federal:

Art. 144. A segurança pública, dever do Estado, direito e responsabilidade de todos, é exercida para a preservação da ordem pública e da incolumidade das pessoas e do patrimônio, através dos seguintes órgãos:

§ 1º A polícia federal, instituída por lei como órgão permanente, organizado e mantido pela União e estruturado em carreira, destina-se a:   

I - apurar infrações penais contra a ordem política e social ou em detrimento de bens, serviços e interesses da União ou de suas entidades autárquicas e empresas públicas, assim como outras infrações cuja prática tenha repercussão interestadual ou internacional e exija repressão uniforme, segundo se dispuser em lei;