prove que 7(elevado a 4n) - 2(elevado a 4n) é divisivel por 53.

Vc informou que "Tenho as seguintes propriedades: (a + b) divide a(elevado a 2n) - b(elevado a 2n)".

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53 que é (7^2+2^2) divide (7^2)^(2n)-(2^2)^(2n)= 7^(4n)-2^(4n).

Lembrando que, por exemplo, (7^2)^(2n) é igual a (7^2)*(7^2)*....*(7^2)=7^(2+2+...+2) [2n-vezes]

que é o mesmo que 7^[2*(2n)]=7^(4n).

 Coloquemos o número 53 como uma soma entre duas potências, segue,

53 = 49 + 4

53 = 7² + 2²

 Das propriedades que foram dadas, a primeira é a que se enquadra no enunciado.

 Provemos que 53 divide (7^{4n} - 2^{4n}), isto é, que 53|(7^{4n} - 2^{4n}). Veja:

 Comparando o denominador da propriedade com 53 (soma de potências) concluímos que:

a + b = 7² + 2²

a = 7² =====guarde=====> a² = (7²)² ======> a² = 7^4

b = 2² ======isso======> b² = (2²)² ======> b² = 2^4

 Ora, por conseguinte,

(a + b)|(a^{2n} - b^{2n}) =>

(7² + 2²)|[(a²)^n - (b²)^n] =>

(49 + 4)|[(7^4)^n - (2^4)^n] =>

53|(7^{4n} - 2^{4n})

 Como queríamos demonstrar.

Recomendo a fazer por indução.