Para determinar as raízes da equação \( q(x) = 0 \), que é o quociente da divisão do polinômio \( p(x) = x^4 + 2x^3 - 4x - 4 \) pelo divisor \( d(x) = x^2 + k \), precisamos considerar a divisibilidade e o comportamento das raízes. 1. Divisibilidade: Se \( p(x) \) é divisível por \( d(x) \), isso significa que \( p(x) \) pode ser escrito como \( p(x) = d(x) \cdot q(x) \), onde \( q(x) \) é um polinômio de grau 2 (já que \( p(x) \) é de grau 4 e \( d(x) \) é de grau 2). 2. Raízes de \( q(x) \): As raízes de \( q(x) \) dependem do discriminante da equação quadrática resultante. O discriminante \( \Delta \) de uma equação quadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) é dado por \( \Delta = b^2 - 4ac \). 3. Análise das alternativas: - A) iguais: Isso ocorre se \( \Delta = 0 \). - B) racionais: Isso ocorre se \( \Delta \) for um quadrado perfeito. - C) irracionais: Isso ocorre se \( \Delta > 0 \) e não for um quadrado perfeito. - D) não reais: Isso ocorre se \( \Delta < 0 \). Sem o valor específico de \( k \), não podemos determinar diretamente a natureza das raízes de \( q(x) \). No entanto, como \( d(x) = x^2 + k \) pode ter raízes reais ou não reais dependendo do valor de \( k \), e considerando que \( p(x) \) é um polinômio de grau 4, é mais provável que as raízes de \( q(x) \) sejam irracionais ou não reais, dependendo do valor de \( k \). Dado que não temos informações suficientes para afirmar que as raízes são iguais ou racionais, a alternativa mais segura, considerando a possibilidade de \( k \) ser tal que \( d(x) \) não tenha raízes reais, é: D) não reais.