Para resolver essa questão, vamos definir as variáveis: - \( x \): hectares de arroz - \( y \): hectares de milho - \( z \): hectares de batata Temos as seguintes informações: 1. Área total: \[ x + y + z = 12 \] 2. Investimento total: \[ 200x + 100y + 300z = 2000 \] 3. Rendimento total: \[ 300x + 200y + 400z = 3200 \] Agora, vamos resolver esse sistema de equações. ### Passo 1: Simplificar a equação do investimento Podemos dividir a equação do investimento por 100 para simplificar: \[ 2x + y + 3z = 20 \] ### Passo 2: Resolver o sistema Agora temos o seguinte sistema de equações: 1. \( x + y + z = 12 \) (1) 2. \( 2x + y + 3z = 20 \) (2) 3. \( 300x + 200y + 400z = 3200 \) (3) Vamos simplificar a equação do rendimento dividindo por 100: \[ 3x + 2y + 4z = 32 \quad (4) \] Agora temos: 1. \( x + y + z = 12 \) (1) 2. \( 2x + y + 3z = 20 \) (2) 3. \( 3x + 2y + 4z = 32 \) (4) ### Passo 3: Resolver as equações Subtraindo a equação (1) da equação (2): \[ (2x + y + 3z) - (x + y + z) = 20 - 12 \] \[ x + 2z = 8 \quad (5) \] Subtraindo a equação (1) da equação (4): \[ (3x + 2y + 4z) - (x + y + z) = 32 - 12 \] \[ 2x + y + 3z = 20 \quad (6) \] Agora temos as equações (5) e (6): 1. \( x + 2z = 8 \) (5) 2. \( 2x + y + 3z = 20 \) (6) ### Passo 4: Substituir \( x \) da equação (5) na equação (6) Da equação (5): \[ x = 8 - 2z \] Substituindo na equação (6): \[ 2(8 - 2z) + y + 3z = 20 \] \[ 16 - 4z + y + 3z = 20 \] \[ y - z = 4 \quad (7) \] ### Passo 5: Substituir \( y \) na equação (1) Da equação (7): \[ y = z + 4 \] Substituindo na equação (1): \[ x + (z + 4) + z = 12 \] \[ x + 2z + 4 = 12 \] \[ x + 2z = 8 \quad (5) \text{ (confirmado)} \] ### Passo 6: Resolver o sistema Agora temos: 1. \( x + 2z = 8 \) (5) 2. \( y = z + 4 \) (7) Substituindo \( z \) na equação (5): Se \( z = 0 \): - \( x = 8 \) - \( y = 4 \) Se \( z = 1 \): - \( x = 6 \) - \( y = 5 \) Se \( z = 2 \): - \( x = 4 \) - \( y = 6 \) Se \( z = 3 \): - \( x = 2 \) - \( y = 7 \) Se \( z = 4 \): - \( x = 0 \) - \( y = 8 \) ### Conclusão O agricultor pode plantar: - Arroz: 0 a 8 hectares - Milho: 4 a 8 hectares - Batata: 0 a 4 hectares A combinação exata depende das preferências do agricultor e da viabilidade econômica.