Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada igual a -1. O ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico de f(x) tem coordenadas (a , b), com a e b reais.
Determine o valor de a + b.
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Question

Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente in...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos primeiro analisar a função dada: $ f(x) = x^2 - 6x + 9 $. Essa função é uma parábola que pode ser reescrita como $ f(x) = (x - 3)^2 $, o que nos mostra que seu vértice está em $ (3, 0) $.

1. **Encontrar a derivada**: A derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente, é:
   $$
   f'(x) = 2x - 6
   $$

2. **Tangente no ponto P(4,1)**: Vamos verificar se o ponto P(4,1) está realmente na curva:
   $$
   f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 9 = 16 - 24 + 9 = 1
   $$
   O ponto P(4,1) está na curva.

3. **Inclinação da tangente em P(4,1)**:
   $$
   f'(4) = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2
   $$
   A equação da reta tangente em P(4,1) é:
   $$
   y - 1 = 2(x - 4) \implies y = 2x - 8 + 1 \implies y = 2x - 7
   $$

4. **Encontrar a segunda tangente**: A segunda reta tangente intercepta a primeira no ponto de ordenada -1. Vamos encontrar o ponto de interseção:
   $$
   -1 = 2x - 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3
   $$
   Substituindo $ x = 3 $ na equação da primeira reta:
   $$
   y = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1
   $$
   O ponto de interseção é (3, -1).

5. **Encontrar a segunda tangente**: A segunda tangente deve ter a mesma inclinação que a derivada em algum ponto $ a $:
   $$
   f'(a) = 2a - 6
   $$
   A equação da segunda tangente em $ (a, f(a)) $ é:
   $$
   y - f(a) = (2a - 6)(x - a)
   $$
   Precisamos que essa reta passe pelo ponto (3, -1).

6. **Substituindo**: Vamos substituir $ x = 3 $ e $ y = -1 $:
   $$
   -1 - f(a) = (2a - 6)(3 - a)
   $$
   Sabemos que $ f(a) = a^2 - 6a + 9 $:
   $$
   -1 - (a^2 - 6a + 9) = (2a - 6)(3 - a)
   $$
   Simplificando:
   $$
   -1 - a^2 + 6a - 9 = (2a - 6)(3 - a)
   $$
   $$
   -a^2 + 6a - 10 = (6a - 2a^2 - 18 + 6a)
   $$
   $$
   -a^2 + 6a - 10 = -2a^2 + 12a - 18
   $$
   Resolvendo a equação:
   $$
   a^2 - 6a + 8 = 0
   $$
   Fatorando:
   $$
   (a - 2)(a - 4) = 0 \implies a = 2 \text{ ou } a = 4
   $$

7. **Encontrar b**: Para $ a = 2 $:
   $$
   f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 9 = 4 - 12 + 9 = 1
   $$
   Para $ a = 4 $:
   $$
   f(4) = 1 \text{ (já sabemos)}
   $$

8. **Soma a + b**: Para $ a = 2 $, $ b = 1 $:
   $$
   a + b = 2 + 1 = 3
   $$
   Para $ a = 4 $, $ b = 1 $:
   $$
   a + b = 4 + 1 = 5
   $$

Assim, as opções corretas são 3 e 5. A resposta correta para a soma $ a + b $ é **3**.

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Obtenha, caso exista, a equação da assíntota horizontal para a função f(x), quando x tende a mais infinito.
y = -1
y = 3
não existe assíntota horizontal
y = 7
y = -3

Deseja-se obter a taxa de variação da função g(x) = arctg x em relação a variável independente s, para quando s = 1
Sabe-se que:
x é função de t e vale x(t)= 2t2 + 1;
t é função de y e vale t(y)= ey ;
y depende de s e vale y(s) = ln s
3/5
1/3
2/5
1
1/2

Marque a alternativa que apresenta um intervalo no qual a função f(x) é estritamente decrescente.

[ - 5 , -2 ]
[ - 2 , 0 ]
[ 1 , 3]
[ 0, 3]
[ - 5 , 0]

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Obtenha, caso exista, a equação da assíntota horizontal para a função f(x), quando x tende a mais infinito.y = -1y = 3não existe assíntota horizontaly = 7y = -3

Deseja-se obter a taxa de variação da função g(x) = arctg x em relação a variável independente s, para quando s = 1Sabe-se que:x é função de t e vale x(t)= 2t2 + 1;t é função de y e vale t(y)= ey ;y depende de s e vale y(s) = ln s3/51/32/511/2

Marque a alternativa que apresenta um intervalo no qual a função f(x) é estritamente decrescente.[ - 5 , -2 ][ - 2 , 0 ][ 1 , 3][ 0, 3][ - 5 , 0]

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Obtenha, caso exista, a equação da assíntota horizontal para a função f(x), quando x tende a mais infinito.
y = -1
y = 3
não existe assíntota horizontal
y = 7
y = -3

Deseja-se obter a taxa de variação da função g(x) = arctg x em relação a variável independente s, para quando s = 1
Sabe-se que:
x é função de t e vale x(t)= 2t2 + 1;
t é função de y e vale t(y)= ey ;
y depende de s e vale y(s) = ln s
3/5
1/3
2/5
1
1/2

Marque a alternativa que apresenta um intervalo no qual a função f(x) é estritamente decrescente.

[ - 5 , -2 ]
[ - 2 , 0 ]
[ 1 , 3]
[ 0, 3]
[ - 5 , 0]