Me ajudem nessa questão!! Por favor!!!!

Coloque a resposta em algum compilador da liguagem Latex caso não consigua ler sem ele. 

De fato, seja $x_0\in X,$ arbitrário, porém fixado. Como $f:X\to\mathbb{R}$ é contínua em todo $X,$ temos de modo particular que $f$ é contínua em $x_0,$ assim para todo $\varepsilon>0,$ existe $\delta>0$ de tal forma que se $|x-x_0|<\delta$, então $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$ Por outro lado, sabemos que $||a|-|b||\leq|a-b|,$ assim $||f(x)|-|f(x_0)||\leq|f(x)-f(x_0)|\varepsilon,$ para tal basta tomar o mesmo delta da função $f.$ Assim provamos que $|f|$ é contínua em $x_0,$ como $x_0$ foi tomado de forma arbitrária temos que $|f|$ é contínua em todo $X.$

A recíproca é falsa, basta considerar a seguinte função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-1 & \mbox{ se }x\leq 0 \\
1 & \mbox{ se }x> 0
\end{array}\right. $

Verifica-se facilmente que esta função é um contra-exemplo.