Como calcular essa integral

∫-1 / (1 + e^x) . dx

= - ∫ dx / (1 + e^x)

Substituindo u = e^x, e du = e^x . dx

= - ∫du / [u (1 + u)]

= - ∫du / (u² + u)

Completando quadrado:

= - ∫du / [(u + (1/2))² - (1/4)]

Substituindo v = u + (1/2), e dv = du

= - ∫du / [v² - 1/4]

Multiplicando o numerador e denominador por 4:

= - ∫4dv / [4v² - 1]

= - 4∫dv / [(2v)² - 1]

Substituindo t = 2v, e dt = 2dv

= - 4∫(1/2)dt / [(2v)² - 1]

= - 2∫dt / [t² - 1]

Sabe-se que ∫dt / [t² - 1] = (1/2)ln|(t - 1) / (t + 1)| + const

= -2(1/2)ln|(t - 1) / (t + 1)| + const

= -ln|(t - 1) / (t + 1)| + const

Como t = 2v = 2(u + (1/2)) = 2(e^x + (1/2)) = 2(e^x) + 1

= -ln|(t - 1) / (t + 1)| + const

= -ln|(2(e^x) + 1 - 1) / (2(e^x) + 1 + 1)| + const

= -ln|(2(e^x)) / (2(e^x) + 2)| + const

= -ln|(e^x) / ((e^x) + 1)| + const

= ln|(e^x) + 1| - ln|e^x| + const

= ln|(e^x) + 1| - x + const

Rapaz!

Nunca pensei em usar a substituição pela terceira vez.

Muito obrigado.