como calcular esse problema?

o aluguel mazimo a ser cobrado será 658 R$,

vamos la, vc tem um limite de quantos apartamentos pode perder que sao 180, logicamente pelo fato de que se vc nao tem apartamentos alugados nao tem quem pagar, calculando vc vê que há uma constante de crescimento ate o ultimo apartamento alugado, ou seja torna-se viavel ficar com um apartamento alugado com o alguel de 658 pq com a constante de 5 apartamento por 10,00R$ de aumento é a resposta a se encontrar. Para chegar ao resultado:

Pegue 180/5= 36, ou seja vc pode fazer o aumento 36 vez ate que fique com 0 AP alugados, logo se vc nao possui AP alugado, nao teras alguel algum, logo vc ira fazer o seguinte. 179/5=35,8*10=358 de aumento no alguel, ok esse é seu limite de aumento tendo em vista que se vc tiver 178/5=35,6 *10 =356 reais de aumento aonde seu alguel seria 656 contra 658 de 179 aluguel ou seja, vc pode aumentar seu alguel 35,8 vez, esse é o seu maximo acredito eu.

Obriago, Deslculpe caso esteja errado.

Cada aumento de 10 reais: x

Número de apartamentos alugados em função de cada aumento: 180 - 5x

Aluguel cobrado por apartamento em função de cada aumento: 300 + 10x

Renda R(x) mensal: (180 - 5x)(300 + 10x)

R(x) = 54000 + 1800x - 1500x - 50x²

R(x) = 54000 + 300x - 50x²

A função R(x), polinomial, é contínua em qualquer intervalo fechado. Logo, o Teorema do Valor Extremo garante solução para o problema de otimização. R(x) tem máximo global (função de segundo grau com a < 0).

Maximizando R(x) em x:

dR(x)/dx = 0

300 - 100x = 0

x = 300/100 = 3

300 + 10 . 3 = 330

Deve ser cobrado R$ 330,00.

Este é um problema de otimização. Para encontrar o valor do aluguel a ser cobrado para a renda máxima temos que aplicar a função que representa a renda dependendo do número de aumentos de R$10,00 que serão feitos. A função será a seguinte:

\(y = (180-5x)(300+10x) = 54000-1500x+1800x-50x^2\)

   \(= 54000+300x-50x^2 = -x^2+6x+1080\)

Aqui temos que x será a quantidade de aumentos de R$10,00 e consequentes apartamentos vazios, sendo y a renda.

Para a otimização temos que calcular a derivada da função, igualá-la a 0, porque esse é o valor onde a função encontra o valor máximo. Teremos:

\(y'=-2x+6 = 0\)

\(x=3\)

Portanto, para esse valor a renda será máxima e o aluguel será:

\(Aluguel = 300+10x = 300+30= 330\)

Portanto a renda máxima será pro aluguel de R$330,00.