como calcular?

Número de árvores adicionais: x.

Número de árvores no pomar: 24 + x

Produção por árvore ao ano em função de árvores adicionais: 600 - 12x

Produção P(x) total no ano: (24 + x)(600 - 12x)

P(x) = 14400 - 288x + 600x - 12x²

P(x) = 14400 + 312x - 12x²

A função P(x), polinomial, é contínua em qualquer intervalo fechado. Logo, o Teorema do Valor Extremo garante solução para o problema de otimização. P(x) tem máximo global (função de segundo grau com a < 0).

Maximizando P(x) em x:

dP(x)/dx = 0

312 - 24x = 0

x = 312/24 = 13

13 + 24 = 37

37 árvores devem ser plantadas por acre.

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Para 24 pés plantados para cada acre, temos uma produção de 600 maçãs por pé por ano:

\[N_0=24\cdot600=14400\]

Para \(x>24\), temos uma redução de 12 maçãs por pé por ano:

\[N(x)=x\cdot[600-12(x-24)]\]

\[N(x)=600x-12x^2+288x\]

\[N(x)=888x-12x^2\]

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Vamos então derivar e igualar a zero de forma a obter o número de árvores para o qual a produção é máxima:

\[N'(x_0)=0=888-24x_0\]

\[x_0=\dfrac{888}{24}=37\]

Precisamos apenas verificar se esse realmente é um ponto de máximo através da segunda derivada:

\[N''(x_0)=-24<0\]

Logo é um ponto de máximo. Só para termos outra garantia, vamos verificar quanto é a produção nesse ponto e verificar se a mesma é maior que \(N_0\):

\[N(x_0)=888x_0-12x_0^2=16428>N_0\]

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Concluímos, portanto, que para maximizar a produção, devem ser plantadas 37 árvores.