lim x--> π/6 [cos(x) - cos(π/6)]/(x - π/6) não pode resolver pelo L'Hopital

ou eu ate descobri um jeito mais de boa, quando lim x--> a, de F(x) - F(a)/ x - a é so derivar F(x) e substituir a em F'(x) ... e isso não é L'Hôpital

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Vamos calcular o seguinte limite:

\[L=\lim\limits_{x\to\pi/6}\dfrac{\cos x-\cos\dfrac\pi6}{x-\dfrac\pi6}\]

Ao substituirmos direto o valor, chegamos a uma indeterminação. Vamos usar a seguinte fórmula de fatoração trigonométrica:

\[\cos a-\cos b=-2\sin\left(\dfrac{a+b}2\right)\sin\left(\dfrac{a-b}2\right)\]

Tomando \(a=x\) e \(b=\dfrac\pi6\), temos:

\[\cos x-\cos\dfrac\pi6=-2\sin\left(\dfrac{x+\dfrac\pi6}2\right)\sin\left(\dfrac{x-\dfrac\pi6}2\right)\]

Substituindo na expressão do nosso limite, temos:

\[L=\lim\limits_{x\to\pi/6}\dfrac{-2\sin\left(\dfrac{x+\dfrac\pi6}2\right)\sin\left(\dfrac{x-\dfrac\pi6}2\right)}{x-\dfrac\pi6}\]

Rearranjando:

\[L=-\lim\limits_{x\to\pi/6}\dfrac{\sin\left(\dfrac{x+\dfrac\pi6}2\right)\sin\left(\dfrac{x-\dfrac\pi6}2\right)}{\dfrac{x-\dfrac\pi6}2}\]

Tomemos \(y=\dfrac{x-\dfrac\pi6}2\):

\[L=-\lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin\left(y+\dfrac\pi6\right)\sin y}{y}\]

Rearranjando:

\[L=-\lim\limits_{y\to0}\sin\left(y+\dfrac\pi6\right)\cdot\dfrac{\sin y}{y}\]

Lembre-se de que um dos limites fundamentais é:

\[\lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}=1\]

Como o restante do limite a ser calculado é definido por substituição simples, temos:

\[L=-\left[\lim\limits_{y\to0}\sin\left(y+\dfrac\pi6\right)\right]\cdot\left(\lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}\right)\]

\[L=-\sin\dfrac\pi6\cdot1\]

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Finalmente:

\[\boxed{\lim\limits_{x\to\pi/6}\dfrac{\cos x-\cos\dfrac\pi6}{x-\dfrac\pi6}=-\dfrac12}\]