Ajuda em cálculo integral

Y(t) = é a função da população em relação ao tempo( em anos), logo de

Y(t) = ∫dy = (70e^0,14t - 120e^0,03t)dt    com Y(0) = 3700

Y(t) = 70/0,14e^0,14t - 120/0,03e^0,03t +k

Y(t) = 500e^0,14t - 4000e^0,03t +k => 3700 = 500e^0,14*0 - 4000e^0,03*0 +k => k = 7200

Y(t) = 500e^0,14t - 4000e^0,03t+7200

Agora é so encontrar Y para t=15 anos

Y(15) = 500e^0,14*15 - 4000e^0,03*15+7200

Y(15) ≅ 5010 peixes

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O modelo proposto para a população de peixes é dado pela seguinte equação diferencial:

\[\dfrac{dy}{dt}=70e^{0,14t}-120e^{0,03t},\ \ \ \ y(0)=3700\]

Vamos integrar a equação diferencial para obter o número de peixes em função do tempo:

\[\int\dfrac{dy}{dt}dt=\int70e^{0,14t}-120e^{0,03t}dt\]

\[y(t)=\dfrac{70}{0,14}e^{0,14t}-\dfrac{120}{0,03}e^{0,03t}+C\]

\[y(t)=500e^{0,14t}-4000e^{0,03t}+C\]

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Para as condições iniciais, temos:

\[y(0)=500-4000+C=3700\Rightarrow C=7200\]

O que nos leva a função exata:

\[y(t)=7200+500e^{0,14t}-4000e^{0,03t}\]

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Queremos a população 15 anos depois:

\[y(15)=7200+500e^{0,14\cdot15}-4000e^{0,03\cdot15}\]

\[y(15)=7200+500e^{2,1}-4000e^{0,45}\]

Tomando \(e=2,72\), como pedido no exercício, temos:

\[y(15)=7200+500\cdot2,72^{2,1}-4000\cdot2,72^{0,45}\]

\[y(15)\approx7200+500\cdot8,177-4000\cdot1,569\]

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Teremos então, em 15 anos:

\[\boxed{y(15)\approx5013}\]