Para resolver essa questão, vamos definir algumas variáveis: - Seja \( w \) a largura da base da caixa. - O comprimento da base, que é o dobro da largura, será \( 2w \). - Seja \( h \) a altura da caixa. Sabemos que o volume da caixa é dado por: \[ V = comprimento \times largura \times altura = 2w \times w \times h = 10 \, m³ \] Portanto, temos: \[ 2w^2h = 10 \implies h = \frac{10}{2w^2} = \frac{5}{w^2} \] Agora, vamos calcular a área da base e das laterais para determinar o custo total do material. 1. Área da base: \[ A_{base} = comprimento \times largura = 2w \times w = 2w^2 \] 2. Área das laterais: - Existem duas laterais com altura \( h \) e largura \( w \): \[ A_{lateral1} = w \times h = w \times \frac{5}{w^2} = \frac{5}{w} \] - Existem duas laterais com altura \( h \) e comprimento \( 2w \): \[ A_{lateral2} = 2w \times h = 2w \times \frac{5}{w^2} = \frac{10}{w} \] Portanto, a área total das laterais é: \[ A_{laterais} = 2 \times A_{lateral1} + 2 \times A_{lateral2} = 2 \times \frac{5}{w} + 2 \times \frac{10}{w} = \frac{10}{w} + \frac{20}{w} = \frac{30}{w} \] 3. Custo total do material: - Custo da base: \[ C_{base} = A_{base} \times 10 = 2w^2 \times 10 = 20w^2 \] - Custo das laterais: \[ C_{laterais} = A_{laterais} \times 6 = \frac{30}{w} \times 6 = \frac{180}{w} \] Assim, o custo total \( C \) como uma função do comprimento da base (que é \( 2w \)) é: \[ C(w) = C_{base} + C_{laterais} = 20w^2 + \frac{180}{w} \] Portanto, a função que expressa o custo total do material em função da largura \( w \) é: \[ C(w) = 20w^2 + \frac{180}{w} \] Se precisar expressar em função do comprimento \( L = 2w \), você pode substituir \( w = \frac{L}{2} \) na função.