Para determinar e classificar os extremos da função \( z = x + y - 3xy \), precisamos encontrar os pontos críticos, que são obtidos igualando as derivadas parciais a zero. 1. Derivadas parciais: - \( \frac{\partial z}{\partial x} = 1 - 3y \) - \( \frac{\partial z}{\partial y} = 1 - 3x \) 2. Encontrando os pontos críticos: Igualando as derivadas a zero: - \( 1 - 3y = 0 \) → \( y = \frac{1}{3} \) - \( 1 - 3x = 0 \) → \( x = \frac{1}{3} \) Portanto, temos um ponto crítico em \( P\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \). 3. Classificação dos extremos: Para classificar, usamos a matriz Hessiana: - \( H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{bmatrix} \) Calculando as segundas derivadas: - \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0 \) - \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0 \) - \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -3 \) A matriz Hessiana é: \( H = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \) O determinante de \( H \) é \( \text{det}(H) = 0 \cdot 0 - (-3)(-3) = -9 \), que é negativo. Isso indica que temos um ponto de sela. 4. Verificando os pontos dados nas alternativas: - O ponto \( P(0, 0) \) resulta em \( z(0, 0) = 0 \). - O ponto \( P(1, 1) \) resulta em \( z(1, 1) = -1 \). Com isso, podemos concluir que: - Temos um ponto de sela em \( P(0, 0) \) e um máximo em \( P(1, 1) \). Portanto, a alternativa correta é: A Sela em P (0; 0; 0) e máximo em P (1; 1; -1).