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O estudo acerca dos logaritmos contribui para a resolução de alguns problemas matemáticos que seriam difíceis de se resolver de outra forma, como é o caso da derivada de 2^x. Para isso, é necessário que se tenha o conhecimento básico sobre a definição e propriedades dos logaritmos.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre os logaritmos, analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) log(e) = ln(e).
II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir de um limite fundamental.
III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica.
IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero.
V, F, F, V.
V, V, F, V.
F, F, V, V.
F, V, V, F.
V, V, V, F.

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há 6 meses

Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre logaritmos: I. ( ) log(e) = ln(e). É verdadeira. O logaritmo na base "e" é exatamente a definição do logaritmo natural, que é representado por ln(e). Portanto, log(e) = 1, já que e^1 = e. II. ( ) O número de Euler, base do logaritmo neperiano, é definido a partir de um limite fundamental. É verdadeira. O número de Euler (e) pode ser definido como o limite de (1 + 1/n)^n quando n tende a infinito, o que é uma das definições fundamentais de e. III. ( ) A função exponencial é a função inversa da logarítmica. É verdadeira. A função exponencial e a função logarítmica são inversas uma da outra. Por exemplo, se y = e^x, então x = ln(y). IV. ( ) A base de um logaritmo deve ser, somente maior do que zero. É falsa. A base de um logaritmo deve ser maior que zero e diferente de 1. Portanto, essa afirmativa é incorreta. Agora, vamos compor a sequência de verdadeiras (V) e falsas (F): I. V II. V III. V IV. F A sequência correta é: V, V, V, F. Portanto, a alternativa que apresenta a sequência correta é: V, V, V, F.

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Os logaritmos auxiliam, entre outras coisas, na resolução de equações exponenciais de uma maneira geral. Compreender algumas equivalências logarítmicas é extremamente útil para o processo de manipulação desses elementos matemáticos a fim de resolver tais equações.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as manipulações logarítmicas possíveis, analise as afirmativas a seguir com relação à veracidade das equivalências e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) log (27) = 3 log (3).
II. ( ) log(12) = log (3) + log(4).
III. ( ) 2log(2) = log(4).
IV. ( ) log(10) = 2log(100) – log(10).
F, F, V, V.
F, V, F, V.
V, V, V, F.
V, V, F, F.
V, F, V, F.

Existem diversas interpretações para as derivadas, tanto do ponto de vista geométrico quanto algébrico. As funções polinomiais são as mais simples para efetuar a derivação. Saber calculá-las é fundamental para a apreensão dos conceitos do Cálculo diferencial e integral.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de f(x) = x+2 é 1.
II. Pode-se calcular a derivada de f(x) = 2x+2/x²-3x pela regra do quociente.
III. O sinal positivo da derivada indica sua relação com um crescimento, o contrário indicaria um decrescimento.
IV. A derivada de uma função composta é calculada pela regra do tombo.
I e II.
II, III e IV.
I, II e III.
II e III.
I e III.

O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física ele é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da equação horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t).
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir:
I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante.
II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante.
III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s.
IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma função quadrática e a aceleração é variável.
III e IV.
I, II e IV.
II e III.
I, II e III.
II e IV.

As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. Mudanças de perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre o mesmo problema. Transitar entre as definições explicitas e implícitas de uma função é uma manipulação algébrica importante para a resolução de alguns problemas.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implícita.
II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implícita.
III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explícita.
IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita.
V, V, F, V.
V, V, V, F.
F, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, V, F.

Algumas funções representam com precisão fenômenos físicos e químicos. Elas muitas vezes servem de modelo preditivo para a avaliação de uma determinada situação, tal como a que segue: Em um determinado país, há um surto epidêmico. Os centros de pesquisas epidemiológicos daquele país tentam mensurar a velocidade na qual as pessoas são acometidas pelo vírus, e estimam isso pela função horária f(t)=105t-t^2 calculada em dias.
Às vésperas de sediar um evento esportivo muito importante, o governo desse país se preocupa com a taxa de contaminação quando o evento começar, pois pode haver o risco de uma pandemia. Imagine que o evento começa em 50 dias, e os centros epidemiológicos alertaram que uma taxa de variação instantânea aceitável é numericamente menor ou igual a 5. Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada da função exponencial, logarítmica e geral, pode-se afirmar que o país deveria sediar o evento, porque:
a taxa de variação instantânea após 50 dias será numericamente igual a 5.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será menor do que 5.
o número de doentes será 0.
a taxa de variação instantânea a 50 dias do tempo presente será 0.
a taxa de variação instantânea após 50 dias será maior do que 5.

O estudo dos logaritmos contribui para a resolução de equações exponenciais. A compreensão da manipulação desses elementos matemáticos a fim de resolver tais equações torna-se fundamental para os profissionais de exatas.
De acordo com essas informações e com os conhecimentos acerca das manipulações logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) log (1/4) = - log (4).
II. ( ) log(a²b³) = [log(a)]² + [log(b)]³.
III. ( ) ln(1/e) = e^-1.
IV. ( ) log(e) = 1/ln(10).
F, V, V, F.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
V, F, V, V.
V, V, F, F.

A diferenciação implícita é um método de derivação para certos tipos de funções, isto é, as que não se consegue isolar o valor de uma de suas variáveis. É necessário conhecer as aplicações e propriedades desse tipo de derivação.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca dessas derivadas, analise as afirmativas a seguir:
I. Quando se deriva implicitamente, deve-se derivar ambos os lados da igualdade.
II. Ao derivar implicitamente, utiliza-se a regra da cadeia.
III. Derivar implicitamente não exclui a necessidade de utilizar outros métodos de derivação.
IV. A derivação implícita sempre resultará em valores positivos.
I, II e III.
I e II.
II e III.
II, III e IV.
III e IV.

Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um determinado problema pode auxiliar no encaminhamento para a solução. É fundamental compreender as distinções e semelhanças das funções transcendentes, explícitas e implícitas.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções transcendentes, explícitas e implícitas, associe as funções apresentadas a seguir com suas respectivas categorias:
1) y= cos(x).
2) x²+y² = 25.
3) y= 2.
4) lnx + 2y = 0.
Função transcendente definida explicitamente.
Função transcendente definida implicitamente.
Função algébrica definida implicitamente.
Função algébrica definida explicitamente.