Lista de Series de Equações Diferenciais e Ordinárias

Qualquer ajuda será muito bem vinda.

1. Considere um tanque utilizado em determinados experimentos em hidrodinâmica.
Depois de um experimento, o tanque contém L0 litros de uma solução de um certo
produto químico diluido em água a uma concentração de 1 grama por litro. Para
preparar o tanque para o próximo experimento, ele é lavado com água fresca fluindo
a uma taxa de n litros por minuto, e a solução bem misturada flui para fora à mesma
taxa. Encontre o tempo gasto até a concentração do produto químico no tanque
atingir 1% de seu valor inicial.

2. Mostre que a função q : R ! R definida por q(x) = sen(x)=x, se x 6= 0, e q(0) = 1 é
continuamente derivável, e resolva o problema

x' = (e^(-t^2)) x + q'(t)
lim(t->infinito) x(t) = 100:
(Dica: procurem na internet error function, e pode utilizar as informações que encontrarem
sem necessariamente provar).

3. Escreva um problema a valor inicial envolvendo EDO de primeira ordem que admita
exatamente 4 soluções definidas na reta toda. Justifique suas afirmações.

4. Considere a EDO
(y^2)y' = x^3; y = y(x); x E R:

(a) Esboce num gráfico em coordenadas x por y contendo algumas soluções de (1),
de forma que estejam bem ilustradas as soluções de todas as possíveis diferentes
naturezas qualitativas em função da constante livre, destacando as soluções
críticas.
(b) Resolva (1), indicando o maior intervalo aberto de definição da respectiva solução,
justificando por que esse intervalo é maximal, com a condição inicial
y(0) = -1.