como fazer? "Encontre a área delimitada pelo eixo X e pela curva x = 1+ e^t, y = t - t^2"

x(t) = 1 + e^t

y(t) = t - t²

Desparametrizando a curva:

x = 1 + e^t

x - 1 = e^t

t = ln(x - 1)

Substituindo em y:

y = ln(x - 1) - ln²(x-1)

A função está definida e é continua em {x ∈ R | x > 1}.

A área é delimitada pela curva y e pelo eixo x. As raízes da função y são os limites de integração.

0 = ln(x - 1) - ln²(x - 1)

0 = ln(x - 1) [1  - ln(x - 1)]

ln(x-1) = 0 → x = 2

1  - ln(x-1) = 0 → x = 1 + e

A área corresponde a integração da função y no intervalo [2; 1 + e].

Integrando y:

∫ [ln(x - 1) - ln²(x - 1)] dx

= ∫ [ln(x - 1)] dx - ∫ [ln²(x - 1)] dx

Chamando u = x - 1 e du = dx;

= ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du

Resolvendo a primeira integral:

∫ [ln(u)] du

Integrando por partes: ∫ f . dg = f . g - ∫ g . df

f = ln(u); df = du / u; dg = du; g = u;

∫ [ln(u)] du = ln(u) . u - ∫ u . (du / u)

= ln(u) . u - ∫ du

= ln(u) . u - u + const

Resolvendo a segunda integral:

∫ [ln²(u)] du

Integrando por partes: ∫ f . dg = f . g - ∫ g . df

f = ln²(u); df = 2 . ln(u) . du / u; dg = du; g = u

∫ [ln²(u)] du = ln²(u) . u - ∫ u . 2 . ln(u) . du / u

= ln²(u) . u - 2 ∫ [ln(u)] du

= ln²(u) . u - 2 [ln(u) . u - u]

= ln²(u) . u - 2 . ln(u) . u + 2 . u + const

Logo,

∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = ln(u) . u - u - [ln²(u) . u - 2 . ln(u) . u + 2 . u] + const

= ln(u) . u - u - ln²(u) . u + 2 . ln(u) . u - 2 . u + const

= u [ln(u) - 1 - ln²(u) + 2 . ln(u) - 2] + const

= u [- ln²(u) + 3 . ln(u) - 3] + const

Como u = x - 1,

= (x - 1) [- ln²(x - 1) + 3 . ln(x - 1) - 3] + const

Delimitando a integração de y no intervalo para encontrar o valor da área:

∫ [ln(x - 1) - ln²(x - 1)] dx em [2, 1 + e]

= (1 + e - 1)[- ln²(1 + e - 1) + 3 . ln(1 + e - 1) - 3] - (2 - 1)[- ln²(2 - 1) + 3 . ln(2 - 1) - 3]

= e [- ln²(e) + 3 . ln(e) - 3] - [- ln²(1) + 3 . ln(1) - 3]

= e[- 1² + 3 . 1 - 3] - [- 0² + 3 . 0 - 3]

= e[- 1] - [- 3]

= 3 - e

Para encontrar a área entre as curvas, realizaremos os cálculos abaixo:

\(∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = ln(u) u - u - [ln²(u)u - 2ln(u) . u + 2 u] + C \\ ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = u [ln(u) - 1 - ln²(u) + 2ln(u) - 2] + C \\ ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = u [- ln²(u) + 3 ln(u) - 3] + C \\ ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = (1 + e - 1)[- ln²(1 + e - 1) + 3 ln(1 + e - 1) - 3] - (2 - 1)[- ln²(2 - 1) + 3ln(2 - 1) - 3] \\ ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = e[- 1² + 3 . 1 - 3] - [- 0² + 3 . 0 - 3] \\ ∫ [ln(u)] du - ∫ [ln²(u)] du = 3 - e\)

Portanto, a área entre as curvas será de \(\boxed{{\text{3 - e}}}\) .