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Como calcular esse limite sem usar l'Hôpital?

lim f(x²-1)/x-1

 

Quem puder ajudar, ja agradeço..

Cálculo I

UTFPR


10 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Primeiro vamos relembrar de um caso importante de fatoração: diferença de quadrados. Temos a forma geral:


\[{a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right) \cdot \left( {a - b} \right)\]

-----

Se entendermos que \({x^2} - 1 = {x^2} - {1^2}\) é um caso em que podemos aplicar a fatoração estudada acima, então podemos reescrever como:


\[{x^2} - 1 = \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\]

----

Assim, podemos calcular o limite dado:


\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\]

-----

Concluímos então que \(\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}} \right) = 2}\).

Primeiro vamos relembrar de um caso importante de fatoração: diferença de quadrados. Temos a forma geral:


\[{a^2} - {b^2} = \left( {a + b} \right) \cdot \left( {a - b} \right)\]

-----

Se entendermos que \({x^2} - 1 = {x^2} - {1^2}\) é um caso em que podemos aplicar a fatoração estudada acima, então podemos reescrever como:


\[{x^2} - 1 = \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)\]

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Assim, podemos calcular o limite dado:


\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)} \over {x - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\]

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Concluímos então que \(\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}} \right) = 2}\).

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Mateus Santos

Há mais de um mês

use o quadrado da diferença
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Mateus Santos

Há mais de um mês

lembre que (x^2-1) eh o mesmo que (x^2-1^2)
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Raquel Soares

Há mais de um mês

Divisão de polinômios ou o quadrado da diferenca: (x-1).(x+1) = (x^2-1). Só simplificar e substituir.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas