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Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x) = 2e-x, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I. A derivada primeira é -2e-x.
II. A derivada primeira é 2e-x.
III. A derivada segunda é -2e-x.
IV. A derivada segunda é 2e-x.
V. A derivada terceira é 4e-x.
A As sentenças I, II e V estão corretas.
B As sentenças II e IV estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças I e III estão corretas.

Exercícios Para o Conhecimento

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Avaliação Final (Objetiva) - Cálculo Diferencial e Integral I

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Vamos analisar cada uma das sentenças sobre a função \( f(x) = 2e^{-x} \): 1. Derivada primeira: - A derivada de \( f(x) = 2e^{-x} \) é \( f'(x) = -2e^{-x} \). Portanto, a sentença I está correta e a II está incorreta. 2. Derivada segunda: - A derivada da primeira derivada \( f'(x) = -2e^{-x} \) é \( f''(x) = 2e^{-x} \). Portanto, a sentença III está incorreta e a IV está correta. 3. Derivada terceira: - A derivada da segunda derivada \( f''(x) = 2e^{-x} \) é \( f'''(x) = -2e^{-x} \). Portanto, a sentença V está incorreta. Agora, vamos resumir as sentenças corretas: - I: Correta - II: Incorreta - III: Incorreta - IV: Correta - V: Incorreta Com base nisso, a alternativa que contém todas as sentenças corretas é: D (As sentenças I e III estão corretas). No entanto, a sentença III está incorreta, então a alternativa correta não é a D. A única combinação correta que podemos considerar é a que contém a I e a IV, mas não existe uma alternativa que a represente. Portanto, a resposta correta é que não há uma alternativa correta entre as opções dadas.

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A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global.
Assim sendo, seja a função f(t) = t2 + 5t-2, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada:
A f'(t) = 2t - 10t-3.
B f'(t) = 2t + 10t-3.
C f'(t) = 2t - 10t-1.
D f'(t) = 2t + 10t-1.

Imagine o seguinte problema: A função custo total f(x) = 20 + 6x + 0,2x², em que f(x) denota o custo total e x a quantidade produzida. Sobre a quantidade de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo médio seja o menor possível, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) 30.
( ) 15.
( ) 10.
( ) 25.
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C V - V - F - V.
D F - F - V - F.

O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular.
Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no ponto x = -1:
A y = -x + 2
B y = x - 2
C y = -x - 2
D y = x + 2

A representação gráfica de uma função nos permite visualizar e compreender o comportamento do limite de uma função à medida que se aproxima de um determinado valor, fornecendo uma perspectiva intuitiva sobre o seu comportamento em relação a esse valor específico.
Acerca do desta ilustração, analise as sentenças a seguir:
I. O limite da função é 1 quando x tende a -2 pela esquerda.
II. O limite da função é infinito positivo quando x tende a -4 pela esquerda.
III. O limite da função não existe quando x tende a 2.
IV. O limite da função é -2 quando x tende a 2 pela direita.
A As sentenças I e IV estão corretas.
B As sentenças III e IV estão corretas.
C As sentenças I e III estão corretas.
D As sentenças II e IV estão corretas.

À medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa constante. A bola começa a derreter quando t= 0 hora e leva 12 horas para desaparecer.

Qual a taxa de variação do volume da bola quando t = 6 horas?

A ) – 154 π cm³/s.
B ) – 144 π cm³/s.
C ) – 163 π cm³/s.
D ) 144 π cm³/s

Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Em determinado instante, a mancha tem um raio de 50 metros, que cresce a uma taxa de variação instantânea de 5 metros por hora. Usando π = 3, estima-se que, nesse instante, a área da superfície do lago coberta pela mancha de óleo está crescendo, em m² /h, a uma taxa instantânea igual a:
Assinale a alternativa CORRETA:
I. 1000.
II. 1500.
III. 3000.
IV. 6000.
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção IV está correta.