divisão de polinomios

boa noite!

é p(x)/h(x)?

se for então eu cheguei na resposta de  x²-4x-5+(-15x-1/x²-6x+5)

onde o (-15x-1/x²-6x+5) é o resto da divisão

resolução

  x^4-10x³+24x²+10x-24/ x²-6x+5

-x^4+6x³-5x²                 x²-4x-5+ (-15x+1)

     0-4x³+19x²+10x                

         4x³-24x²+5x

           0 - 5x²+15x-24

                5x²-30x+25

                      -15x+1

Passo 1: divide a primeira parte do polinômio do dividendo pelo polinômio do divisor

x⁴  -10x³+24x²+10x-24        |    x²-6x+5     

- x⁴+6x³-5x²                             x²

____________________

0x⁴- 4x³+19x² 

Passo 2 : baixa o próximo elemento (10x) e divide o polinômio obtido, como no passo 1

x⁴  -10x³+24x²+10x-24        |    x²-6x+5     

- x⁴+6x³-5x²                             x² - 4x

____________________

       -4x³+19x² +10x

      +4x³-24x² +20x

___________________

        0x³ -5x² +30x

Passo 3 : baixa o próximo elemento (-24) e divide o polinômio obtido, como nos passos anteriores

x⁴  -10x³+24x²+10x-24        |    x²-6x+5     

- x⁴+ 6x³-5x²                            x² - 4x -5

____________________

       -4x³+19x² +10x

      +4x³-24x² +20x

___________________

        -5x² +30x - 24

         +5x² -30x +25

____________________

         0x² +0x +1

Desta forma:

x⁴  -10x³+24x²+10x-24 = ( x²-6x+5).(x² - 4x -5)  +1

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A forma mais simples de se realizar esse cálculo é pela definição:

\[P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)\]

Onde \(P(x)\) é o polinômio a ser dividido, no exercício representado por \(p(x)\), \(D(x)\) é o divisor, no exercício representado por \(h(x)\), \(Q(x)\) é o quociente da divisão e \(R(x)\) é o resto da divisão e tem necessariamente grau menor que o divisor. No nosso caso, o grau de \(D(x)\) é 2, logo o grau de \(R(x)\) será 1:

\[x^4 -10x^3 +24x^2 +10x-24=(x^2-6x+5)Q(x)+(R_1x+R_0)\]

O grau de um produto de polinômios é a soma dos graus deles. Como o grau do lado direito deve ser 4, o grau de \(Q(x)\) é 2:

\[x^4 -10x^3 +24x^2 +10x-24=(x^2-6x+5)(Q_2x^2+Q_1x+Q_0)+(R_1x+R_0)\]

Efetuando a multiplicação, temos:

\[x^4 -10x^3 +24x^2 +10x-24=\]

\[=[Q_2x^4+(Q_1-6Q_2)x^3+(Q_0-6Q_1+5Q_2)x^2+(5Q_1-6Q_0)x+5Q_0]+(R_1x+R_0)\]

Reescrevendo, temos:

\[[(Q_2-1)x^4+(Q_1-6Q_2+10)x^3+(Q_0-6Q_1+5Q_2-24)x^2+(5Q_1-6Q_0+R_1-10)x+(5Q_0+R_0+24)]=0\]

Essa expressão deve ser verdadeira independente do valor de \(x\), então todos os coeficientes devem se anular:

\[\begin{cases}Q_2-1=0&\Rightarrow Q_2=1\\Q_1-6Q_2+10=0&\Rightarrow Q_1=-4\\Q_0-6Q_1+5Q_2-24=0&\Rightarrow Q_0=-5\\5Q_0+R_0+24=0&\Rightarrow R_0=1\\5Q_1-6Q_0+R_1-10=0&\Rightarrow R_1=0\end{cases}\]

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Logo, temos:

\[\boxed{p(x)=(x^2-4x-5)h(x)+1}\]