Calculo 1

y é uma função de x:

y = f(x) = c x^1/2

A reta tangente e a curva se interceptam em (a, f(a)), tal que:

(3/2) a + 6 = c √a

(3/2) a - c √a = - 6

Derivando a curva f(x):

f'(x) = (1/2) c x^(-1/2)

f'(x) = [(1/2) c] / √x

Reta tangente à curva f(x) no ponto (a, f(a)) é dada por:

y = f(a) + f'(a) (x - a)

y = f(a) + f'(a) x - f'(a) a

f(a) + f'(a) x - f'(a) a = (3/2) x + 6

Disso, f'(a) = 3/2.

Logo, [(1/2) c] / √a = 3/2

(1/2) c = 3/2√a

[(1/2) c] / (3/2) = √a

(1/3) c = √a   (c > 0)

a = [(1/3) c]²

a = (1/9) c²

Substituindo a equação acima em (3/2) a - c √a = - 6:

(3/2) (1/9) c² - c (1/3) c = - 6

(3/18) c² - (1/3) c² = - 6

- (1/6) c² = - 6

c² = 36

c = ±6

Da restrição c > 0, c = 6.

A inclinação da reta tangente à curva \(y=c \sqrt{x}\) é encontrada da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {d \over dx}(c \sqrt{x})\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = c{d \over dx}( x^{1 \over 2})\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = c( {1 \over 2}x^{{1 \over 2}-1})\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {c \over 2 \sqrt{x}}\)

Supondo que a reta passe no ponto \((x_0,y_0)\) da curva \(y=c \sqrt{x}\), a inclinação da reta tangente correspondente é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = {c \over 2 \sqrt{x_0}}\)

Portanto, a equação da reta tangente \(y_{tan}\) é:

\(\Longrightarrow y_{tan} = {dy \over dx}x + b\)

\(\Longrightarrow y_{tan} = {c \over 2 \sqrt{x_0}}x + b\)

Comparando a equação anterior com \(y={3 \over 2}x+6\), pode-se deduzir a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {c \over 2 \sqrt{x_0}}={3 \over 2}\)

\(\Longrightarrow c=3 \sqrt{x_0}\)     \((I)\)

Uma vez que a reta \(y={3 \over 2}x+6\) cruza a curva \(y=c \sqrt{x}\) no ponto \((x_0,y_0)\), tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {3 \over 2}x_0 + 6 = c\sqrt{x_0}\)     \((II)\)

Substituindo a equação \((I)\) na equação \((II)\), o valor de \(x_0\) é:

\(\Longrightarrow {3 \over 2}x_0 + 6 = (c)\sqrt{x_0}\)

\(\Longrightarrow {3 \over 2}x_0 + 6 =( 3\sqrt{x_0}) \sqrt{x_0}\)

\(\Longrightarrow {3 \over 2}x_0 + 6 =3x_0\)

\(\Longrightarrow {3 \over 2}x_0 -3x_0=-6\)

\(\Longrightarrow -{3 \over 2}x_0 =-6\)

\(\Longrightarrow x_0=4\)

Substituindo o valor de \(x_0\) na equação \((I)\), o valor de \(c\) é:

\(\Longrightarrow c=3 \sqrt{x_0}\)

\(\Longrightarrow c=3 \sqrt{4}\)

\(\Longrightarrow c=3 \cdot 2\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ c=6 $}\)