Determine as equações do plano normal e osculador

Para encontrar o plano normal a curva você irá precisar de um vetor 'A' perpendicular ao plano. Como o plano é normal a curva e o vetor é normal ao plano, A poderá ser um vetor tangente a curva no ponto dado ou qualquer vetor paralelo ao vetor tangente no ponto.

O plano osculador é o plano formado pelos vetores B e N da curva, no ponto dado. Pelo produto vetorial desses dois vetores, você obterá o vetor binormal B, que será perpendicular ao plano osculador.

Daí é só usar a equação geral do plano para os dois casos.

Perceba que essas equações paramétricas descrevem um cilindro de raio 2 com eixo coincidindo com o eixo \(y\), já que:

\(\begin{align} x^2+z^2&=4sen^33t+4cos^23t\\ &=4\\ &=2^2 \end{align}\)

Independentemente da variável \(y\).

Dessa forma, precisamos apenas achar o plano que passa pelo ponto especificado e cuso vetor diretor é:

 \(\vec{n}=(0,1,0)\)

Sabemos que os coeficientes da equação geral do plano é dado por:

\(\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0\)

Ou seja

\((0,1,0)\cdot\left(x-0,y-{\pi\over2},z+2\right)=0\)

Expandindo as contas, temos:

\(y-{\pi\over2}=0\)

Ou seja, para a equação do plano procurado, temos:

\(\boxed{y={\pi\over2}}\)