Qual termo é mais correto, dono ou responsável do animal? E por que?

Eu considero responsável, porque não temos posse sobre uma vida, a não ser a própria

Segundo a Legislação Brasileira, o animal é considerado propriedade (é um bem / patrimônio de alguém). Possuir um cão, gato ou qualquer outro animal de estimação é um direito de propriedade amparado pela Constituição Federal no seu artigo 5º, logo o termo correto é Proprietário do animal.

O Termo "Dono" quer dizer que você tem a posse documentada de algo, no caso o animal de estimação. O "Dono" também é responsável pelo animal; e quando vai ficar fora por algum tempo, pode deixar uma pessoa como responsável cuidando do seu animal.