Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por x=y^2 e x=y gira em torno da reta y=-1.

x=0

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Primeiro precisamos determinar a região de intersecção entre as curvas:

\[\begin{cases}x=y^2\\x=y\end{cases}\]

Igualando as duas, temos:

\[y=y^2\]

\[y(y-1)=0\]

\[y\in\{0;1\}\]

Logo os pontos de intersecção são:

\[(0,0);(1,1)\]

Nesse intervalo, vamos verifica qual curva está mais próxima do eixo de rotação \(y=-1\):

\[\sqrt{0,5}>0,5\]

Logo a parábola está acima. Vamos então integrar usando a área da coroa circular, isto é:

\[A=\pi(R^2-r^2)\]

Voltando para a nossa integral, temos:

\[V=\int_0^1\pi(\sqrt{x}^2-x^2)dx\]

\[V=\pi\int_0^1x-x^2dx\]

Pela regra do tombo inversa, temos:

\[V=\pi\left[\dfrac12x^2-\dfrac13x^3\right]_0^1\]

\[V=\pi\left(\dfrac12-\dfrac13\right)\]

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Logo

\[\boxed{V=\dfrac\pi6}\]