Para resolver esse problema, vamos seguir os passos necessários para determinar o esquema diário de produção que maximiza o lucro da marcenaria. 1. Conversão de horas em minutos: A marcenaria dispõe de 8 horas diárias, que equivalem a: \[ 8 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos/hora} = 480 \text{ minutos} \] 2. Definição das variáveis: - Seja \( x \) o número de mesas produzidas. - Seja \( y \) o número de cadeiras produzidas. 3. Lucro total: O lucro total \( L \) pode ser expresso como: \[ L = 34x + 18y \] 4. Restrições: - Tempo de mão de obra: Cada mesa consome 12 minutos e cada cadeira consome 10 minutos. Portanto, a restrição de tempo é: \[ 12x + 10y \leq 480 \] - Madeira: Cada mesa consome 3 unidades de madeira e cada cadeira consome 1 unidade. Portanto, a restrição de madeira é: \[ 3x + y \leq 72 \] 5. Restrições não-negativas: \[ x \geq 0 \quad \text{e} \quad y \geq 0 \] 6. Sistema de inequações: - \( 12x + 10y \leq 480 \) - \( 3x + y \leq 72 \) 7. Resolvendo o sistema: - Para encontrar os pontos de interseção, podemos resolver as equações: 1. \( 12x + 10y = 480 \) 2. \( 3x + y = 72 \) Resolvendo a segunda equação para \( y \): \[ y = 72 - 3x \] Substituindo na primeira: \[ 12x + 10(72 - 3x) = 480 \] \[ 12x + 720 - 30x = 480 \] \[ -18x = -240 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{240}{18} \approx 13.33 \] Como \( x \) deve ser um número inteiro, testamos \( x = 13 \) e \( x = 14 \). Para \( x = 13 \): \[ y = 72 - 3(13) = 33 \] Para \( x = 14 \): \[ y = 72 - 3(14) = 30 \] 8. Verificando as restrições: - Para \( x = 13 \) e \( y = 33 \): \[ 12(13) + 10(33) = 156 + 330 = 486 \quad (\text{não atende}) \] - Para \( x = 14 \) e \( y = 30 \): \[ 12(14) + 10(30) = 168 + 300 = 468 \quad (\text{atende}) \] 9. Calculando o lucro: Para \( x = 14 \) e \( y = 30 \): \[ L = 34(14) + 18(30) = 476 + 540 = 1016 \] 10. Conclusão: O esquema diário de produção que maximiza o lucro é produzir 14 mesas e 30 cadeiras, resultando em um lucro total de R$ 1016.