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Derivada x^4-2x^3-11x^2+12x

dada a funcao f(x)=x^4-2x^3-11x^2+12x determine

a)intervalos de crescimento e decrescimento

b)max e min locais 

c) intervalos onde a concavidade da funcao esta voltada para baixo e onde esta voltada para cima

d)pontos de inflexao

e)raizes da funcao

f)pontos de intersecao com o eixo y

 

Cálculo I

UFPR


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Há mais de um mês

O gráfico de \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\) está na figura a seguir:


Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), seus pontos críticos são encontrados pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial f(x) \over \partial x} = 0\)


Portanto, os pontos críticos são:

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x} (x^4-2x^3-11x^2+12x)= 0\)

\(\Longrightarrow 4x^3-6x^2-22x+12= 0\)

\(\Longrightarrow 4(x+2)(x-0,5)(x-3) = 0\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_{cr,1}=-2 \\ x_{cr,2} = 0,5 \\ x_{cr,3} = 3 \end{matrix} \right.\)


Para encontrar a natureza desses pontos críticos, será utilizada a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = {\partial \over \partial x}(4x^3-6x^2-22x+12)\)

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = 12x^2-12x-22\)


Portanto, a natureza desses pontos críticos são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,1}=-2} = 12\cdot (-2)^2-12\cdot (-2)-22\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,2} = 0,5} = 12\cdot (0,5)^2-12\cdot (0,5)-22\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,3} = 3} = 12\cdot (3)^2-12\cdot (3)-22 \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,1}=-2} = 50>0 & \mathrm{(Ponto \, minimo \, local)} \\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,2} = 0,5} = -25<0 & \mathrm{(Ponto \, maximo \, local )}\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,3} = 3} = 50>0 & \mathrm{(Ponto \, minimo \, local)} \end{matrix} \right.\)


Portanto, tem-se o seguinte:

  • No intervalo \(\big] -\infty; \, -2 \big ]\), a função \(f(x)\) decresce.
  • No intervalo \(\big[ -2;\,0,5 \big ]\), a função \(f(x)\) cresce.
  • No intervalo \(\big[0,5; \, 3 \big ]\), a função \(f(x)\) decresce.
  • No intervalo \(\big[3; \, + \infty \big [\), a função \(f(x)\) cresce.

a)

Intervalos de crescimento: \(\fbox {$ \big[ -2;\,0,5 \big ] \, ; \, \big[3; \, + \infty \big [ $}\).

Intervalos de decrescimento: \(\fbox {$ \big] -\infty; \, -2 \big ]; \big[0,5; \, 3 \big ] $}\)


b)

Os máximos locais são: \(\fbox {$ x_{cr,2} = 0,5 $}\).

Os mínimos locais são: \(\fbox {$ x_{cr,1} = -2 \\ x_{cr,3} = 3 $}\).


c)

Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), seus pontos de inflexão são encontrados pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = 0\)

\(\Longrightarrow 12x^2-12x-22=0\)


A equação anterior está no formato \(ax^2+bx+c\). Sendo \(a=12\)\(b=-12\) e \(c=-22\), os pontos de inflexão são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 12\cdot (-22)} \over 2\cdot 12}\)

\(\Longrightarrow x = {12 \pm \sqrt{1.200} \over 24}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_{inf,1}=1,943 \\ x_{inf,2}=-0,943 \end{matrix} \right.\)


Portanto, tem-se o seguinte:

  • O intervalo \( \big ]- \infty; \, -0,943 \big ]\) engloba o ponto de mínimo local \(x_{cr,1} = -2 \). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para cima.
  • O intervalo \( \big [ -0,943; \, 1,943 \big ]\) engloba o ponto de máximo local \(x_{cr,2} = 0,5\). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para baixo.
  • O intervalo \( \big [1,943; \, + \infty \big [\) engloba o ponto de mínimo local \(x_{cr,3} = 3\). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para cima.

Intervalos onde a concavidade de \(f(x)\) está voltada para baixo: \(\fbox {$ \big [ -0,943; \, 1,943 \big ] $}\)

Intervalos onde a concavidade de \(f(x)\) está voltada para cima: \(\fbox {$ \big ]- \infty; \, -0,943 \big ] ; \big [1,943; \, + \infty \big [ $}\)


d)

Conforme calculado, os pontos de inflexão são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x_{inf,1}=1,943 \\ x_{inf,2}=-0,943 \end{matrix} \right. $}\)


e)

Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), suas raizes são encontradas pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow f(x)=0\)

\(\Longrightarrow x^4 - 2x^3-11x^2+12x=0\)


Portanto, as raizes são:

\(\Longrightarrow x^4 - 2x^3-11x^2+12x=0\)

\(\Longrightarrow (x+3)x(x-1)(x-4)=0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x_{raiz,1}=-3 \\ x_{raiz,2} = 0 \\ x_{raiz,3} = 1 \\ x_{raiz,4} = 4 \end{matrix} \right. $}\)


f)

Por último, os pontos de interseção com o eixo y ocorrem em \(x=0\). Portanto, o valor de \(f(0)\) é:

\(\Longrightarrow f(x) = x^4 - 2x^3-11x^2+12x\)

\(\Longrightarrow f(0) = (0)^4 - 2\cdot (0)^3-11\cdot (0)^2+12\cdot (0)\)

\(\Longrightarrow f(0) = 0\)


Concluindo, o único ponto de interseção com o eixo y é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Big ( 0, \, f(0) \Big ) = (0,0) $}\)

O gráfico de \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\) está na figura a seguir:


Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), seus pontos críticos são encontrados pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial f(x) \over \partial x} = 0\)


Portanto, os pontos críticos são:

\(\Longrightarrow {\partial \over \partial x} (x^4-2x^3-11x^2+12x)= 0\)

\(\Longrightarrow 4x^3-6x^2-22x+12= 0\)

\(\Longrightarrow 4(x+2)(x-0,5)(x-3) = 0\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_{cr,1}=-2 \\ x_{cr,2} = 0,5 \\ x_{cr,3} = 3 \end{matrix} \right.\)


Para encontrar a natureza desses pontos críticos, será utilizada a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = {\partial \over \partial x}(4x^3-6x^2-22x+12)\)

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = 12x^2-12x-22\)


Portanto, a natureza desses pontos críticos são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,1}=-2} = 12\cdot (-2)^2-12\cdot (-2)-22\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,2} = 0,5} = 12\cdot (0,5)^2-12\cdot (0,5)-22\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,3} = 3} = 12\cdot (3)^2-12\cdot (3)-22 \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,1}=-2} = 50>0 & \mathrm{(Ponto \, minimo \, local)} \\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,2} = 0,5} = -25<0 & \mathrm{(Ponto \, maximo \, local )}\\ {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg | _{x_{cr,3} = 3} = 50>0 & \mathrm{(Ponto \, minimo \, local)} \end{matrix} \right.\)


Portanto, tem-se o seguinte:

  • No intervalo \(\big] -\infty; \, -2 \big ]\), a função \(f(x)\) decresce.
  • No intervalo \(\big[ -2;\,0,5 \big ]\), a função \(f(x)\) cresce.
  • No intervalo \(\big[0,5; \, 3 \big ]\), a função \(f(x)\) decresce.
  • No intervalo \(\big[3; \, + \infty \big [\), a função \(f(x)\) cresce.

a)

Intervalos de crescimento: \(\fbox {$ \big[ -2;\,0,5 \big ] \, ; \, \big[3; \, + \infty \big [ $}\).

Intervalos de decrescimento: \(\fbox {$ \big] -\infty; \, -2 \big ]; \big[0,5; \, 3 \big ] $}\)


b)

Os máximos locais são: \(\fbox {$ x_{cr,2} = 0,5 $}\).

Os mínimos locais são: \(\fbox {$ x_{cr,1} = -2 \\ x_{cr,3} = 3 $}\).


c)

Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), seus pontos de inflexão são encontrados pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {\partial^2 f(x) \over \partial x^2} = 0\)

\(\Longrightarrow 12x^2-12x-22=0\)


A equação anterior está no formato \(ax^2+bx+c\). Sendo \(a=12\)\(b=-12\) e \(c=-22\), os pontos de inflexão são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 12\cdot (-22)} \over 2\cdot 12}\)

\(\Longrightarrow x = {12 \pm \sqrt{1.200} \over 24}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_{inf,1}=1,943 \\ x_{inf,2}=-0,943 \end{matrix} \right.\)


Portanto, tem-se o seguinte:

  • O intervalo \( \big ]- \infty; \, -0,943 \big ]\) engloba o ponto de mínimo local \(x_{cr,1} = -2 \). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para cima.
  • O intervalo \( \big [ -0,943; \, 1,943 \big ]\) engloba o ponto de máximo local \(x_{cr,2} = 0,5\). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para baixo.
  • O intervalo \( \big [1,943; \, + \infty \big [\) engloba o ponto de mínimo local \(x_{cr,3} = 3\). Portanto, nesse intervalo, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para cima.

Intervalos onde a concavidade de \(f(x)\) está voltada para baixo: \(\fbox {$ \big [ -0,943; \, 1,943 \big ] $}\)

Intervalos onde a concavidade de \(f(x)\) está voltada para cima: \(\fbox {$ \big ]- \infty; \, -0,943 \big ] ; \big [1,943; \, + \infty \big [ $}\)


d)

Conforme calculado, os pontos de inflexão são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x_{inf,1}=1,943 \\ x_{inf,2}=-0,943 \end{matrix} \right. $}\)


e)

Dada a função \(f(x)=x^4 - 2x^3-11x^2+12x\), suas raizes são encontradas pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow f(x)=0\)

\(\Longrightarrow x^4 - 2x^3-11x^2+12x=0\)


Portanto, as raizes são:

\(\Longrightarrow x^4 - 2x^3-11x^2+12x=0\)

\(\Longrightarrow (x+3)x(x-1)(x-4)=0\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x_{raiz,1}=-3 \\ x_{raiz,2} = 0 \\ x_{raiz,3} = 1 \\ x_{raiz,4} = 4 \end{matrix} \right. $}\)


f)

Por último, os pontos de interseção com o eixo y ocorrem em \(x=0\). Portanto, o valor de \(f(0)\) é:

\(\Longrightarrow f(x) = x^4 - 2x^3-11x^2+12x\)

\(\Longrightarrow f(0) = (0)^4 - 2\cdot (0)^3-11\cdot (0)^2+12\cdot (0)\)

\(\Longrightarrow f(0) = 0\)


Concluindo, o único ponto de interseção com o eixo y é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Big ( 0, \, f(0) \Big ) = (0,0) $}\)

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Jonatha Mathaus Santos da Silva

Há mais de um mês

y=x^4-2x³-11x²+12x

y'=4x³-6x²-22x+12

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Roger Vicente da Cruz

Há mais de um mês

Quem é teu proff?? o Fernando?

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas