Se I e ideal do anel comutativo A, verifique que J = {x ∈ A : xi = 0, ∀i ∈ I} e ideal de A

1 Defini¸c˜ao e Exemplos Defini¸c˜ao 1 Um conjunto n˜ao vazio R, juntamente com duas opera¸c˜oes bin´arias + e ·, ´e dito ser um anel quando: (i) (R, +) ´e um grupo abeliano, ou seja; • a + (b + c) = (a + b) + c, para todo a, b, c ∈ R; • ∃ 0 ∈ R; a + 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ R; • Para todo a ∈ R, ∃ − a ∈ R; a + (−a) = 0 = (−a) + a; • a + b = b + a; para todo a, b ∈ R. (ii) · ´e associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c, para todo a, b, c ∈ R. (iii) Valem as leis distributivas: a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a), para todo a, b, c ∈ R. Nota¸c˜ao: (R , + , ·) denotar´a um anel R com as opera¸c˜oes + e · . Exemplo 1 ( Z , + , ·) ´e um anel, onde + e · s˜1 Defini¸c˜ao e Exemplos Defini¸c˜ao 1 Um conjunto n˜ao vazio R, juntamente com duas opera¸c˜oes bin´arias + e ·, ´e dito ser um anel quando: (i) (R, +) ´e um grupo abeliano, ou seja; • a + (b + c) = (a + b) + c, para todo a, b, c ∈ R; • ∃ 0 ∈ R; a + 0 = 0 + a = a, para todo a ∈ R; • Para todo a ∈ R, ∃ − a ∈ R; a + (−a) = 0 = (−a) + a; • a + b = b + a; para todo a, b ∈ R. (ii) · ´e associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c, para todo a, b, c ∈ R. (iii) Valem as leis distributivas: a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a), para todo a, b, c ∈ R. Nota¸c˜ao: (R , + , ·) denotar´a um anel R com as opera¸c˜oes + e · . Exemplo 1 ( Z , + , ·) ´e um anel, onde + e · s˜