taxa

primeiramente ele o enunciado está informando duas situações taxa do volume que é 100 cm³/s que pode ser representado por dv/dt= 100 cm³/s e quer a taxa do comprimento dr/dt quando o diametro for 50 cm mas para nos cálculos é utilizado o raio que no caso é de 25cm então temos:

r = 25cm

dv/dt = 100 cm³/s

dr/dt = ?

(formula do volume da esfera) V=4/3R³π

dv/dt=4/3R³π (derivando para encontrar a taxa do raio)

dv/dt=4/3*3R²π dr/dt

dv/dt=12/3*R²π dr/dt

dv/dt=4R²π  dr/dt

substituindo os valores de dv/dt =100 e R = 25 teremos:

100=4*25²π dr/dt

100=4*625π dr/dt

100=2500π dr/dt

dr/dt= 100/2500π

dr/dt=1/25π cm/s

π= pi ( o simbolo de pi esta estranho nesta fonte)

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Para uma esfera, temos a seguinte expressão para o volume:

\[V=\dfrac43\pi r^3\]

Derivando em relação ao tempo, temos:

\[\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac43\pi r^3\right)\]

\[\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\dfrac{d}{dt}\left( r^3\right)\]

Usando a regra da cadeia, temos:

\[\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi3r^2\dfrac{dr}{dt}\]

\[\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}\]

Isolando a variação do raio com o tempo, temos:

\[\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{4\pi r^2}\dfrac{dV}{dt}\]

Substituindo os dados do exercício, temos:

\[\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{4\pi 50^2}\cdot100\]

\[\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{4\pi 2500}\cdot100\]

\[\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{10000\pi}\cdot100\]

\[\dfrac{dr}{dt}=\dfrac1{100\pi}\]

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Logo:

\[\boxed{\dfrac{dr}{dt}\approx0,003\text{ cm/s}}\]