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Extremos

Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.

💡 4 Respostas

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Kanye Westt

O volume V (= 1L = 1000 cm³) do cilindro de raio r e altura h é dado por 
V = π * r² * h 
1000 = π * r² * h 
h = 1000/(π * r² ) 
O que queremos minimizar é a área total do cilindro, dada por 
A(r) = A(lateral) + 2 A(base) 
A(r) = 2 * π*r* h + 2 * π* r² 
A(r) = 2 * π*r* (1000/(π * r² ) ) + 2 * π* r² 
A(r) = 2000*(r^(-1)) + 2 * π* r² 

Sua primeira derivada é 
A'(r) = 2 *2 π* r - 2000*(r^(-2)) = 4* π* r - 2000*(r^(-2)) = 4* π* r - 2000/r² 
Sua segunda derivada é: 
A''(r) = 4* π - 2 * ( -2000*(r^(-3)) ) = 4* π + 4000*(r^(-3)) = 4* π + 4000 /r³ 
Os pontos críticos (que anulam a primeira derivada) são obtidos por 
4* π* r - 2000/r² = 0 
(4* π* r³ - 2000) / r² = 0 
4* π* r³ - 2000 = 0 
r³ = 2000 / (4* π) = 500 / π 
r = raiz_cubica (500 / π) cm 
Esse ponto é um ponto de mínimo (minimiza a área) pois 
A''(raiz_cubica (500 / π) = 4* π + 4 /(raiz_cubica (500 / π)³ > 0. Logo as dimensões são r = raiz_cubica (500 / π) cm e h =1000/(π * (raiz_cubica (500 / π) ) ² ) cm 

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RD Resoluções

Nesse exercício vamos estudar extremos de função.


Queremos minimizar a superfície de um cilindro mantendo seu volume constante:

$$V=\pi R^2h$$

$$A=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R(R+h)$$


Da expressão do volume, temos:

$$h=\dfrac{V}{\pi R^2}$$

Substituindo na expressão da área, temos:

$$A=2\pi R\left(R+\dfrac{V}{\pi R^2}\right) =2\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$$

Temos, então a área em função do raio. Vamos derivar e igualar a zero a expressão para encontrar seus extremos:

$$\dfrac{dA}{dR}=4\pi R-\dfrac{2V}{R^2}$$

Zerando, temos:

$$4\pi R=\dfrac{2V}{R^2}$$

$$R=\sqrt[3]{\dfrac{2V}{4\pi}}$$

Sabemos que o volume é $V=1L=1000\ cm^3$, então:

$$\boxed{R=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5,42\ cm}$$

$$\boxed{h=\dfrac{1000}{\pi R^2}\approx10,84\ cm}$$

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Andre Smaira

Nesse exercício vamos estudar extremos de função.


Queremos minimizar a superfície de um cilindro mantendo seu volume constante:

$$V=\pi R^2h$$

$$A=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R(R+h)$$


Da expressão do volume, temos:

$$h=\dfrac{V}{\pi R^2}$$

Substituindo na expressão da área, temos:

$$A=2\pi R\left(R+\dfrac{V}{\pi R^2}\right) =2\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$$

Temos, então a área em função do raio. Vamos derivar e igualar a zero a expressão para encontrar seus extremos:

$$\dfrac{dA}{dR}=4\pi R-\dfrac{2V}{R^2}$$

Zerando, temos:

$$4\pi R=\dfrac{2V}{R^2}$$

$$R=\sqrt[3]{\dfrac{2V}{4\pi}}$$

Sabemos que o volume é $V=1L=1000\ cm^3$, então:

$$\boxed{R=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5,42\ cm}$$

$$\boxed{h=\dfrac{1000}{\pi R^2}\approx10,84\ cm}$$

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