Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
O volume V (= 1L = 1000 cm³) do cilindro de raio r e altura h é dado por
V = π * r² * h
1000 = π * r² * h
h = 1000/(π * r² )
O que queremos minimizar é a área total do cilindro, dada por
A(r) = A(lateral) + 2 A(base)
A(r) = 2 * π*r* h + 2 * π* r²
A(r) = 2 * π*r* (1000/(π * r² ) ) + 2 * π* r²
A(r) = 2000*(r^(-1)) + 2 * π* r²
Sua primeira derivada é
A'(r) = 2 *2 π* r - 2000*(r^(-2)) = 4* π* r - 2000*(r^(-2)) = 4* π* r - 2000/r²
Sua segunda derivada é:
A''(r) = 4* π - 2 * ( -2000*(r^(-3)) ) = 4* π + 4000*(r^(-3)) = 4* π + 4000 /r³
Os pontos críticos (que anulam a primeira derivada) são obtidos por
4* π* r - 2000/r² = 0
(4* π* r³ - 2000) / r² = 0
4* π* r³ - 2000 = 0
r³ = 2000 / (4* π) = 500 / π
r = raiz_cubica (500 / π) cm
Esse ponto é um ponto de mínimo (minimiza a área) pois
A''(raiz_cubica (500 / π) = 4* π + 4 /(raiz_cubica (500 / π)³ > 0. Logo as dimensões são r = raiz_cubica (500 / π) cm e h =1000/(π * (raiz_cubica (500 / π) ) ² ) cm
Nesse exercício vamos estudar extremos de função.
Queremos minimizar a superfície de um cilindro mantendo seu volume constante:
$$V=\pi R^2h$$
$$A=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R(R+h)$$
Da expressão do volume, temos:
$$h=\dfrac{V}{\pi R^2}$$
Substituindo na expressão da área, temos:
$$A=2\pi R\left(R+\dfrac{V}{\pi R^2}\right) =2\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$$
Temos, então a área em função do raio. Vamos derivar e igualar a zero a expressão para encontrar seus extremos:
$$\dfrac{dA}{dR}=4\pi R-\dfrac{2V}{R^2}$$
Zerando, temos:
$$4\pi R=\dfrac{2V}{R^2}$$
$$R=\sqrt[3]{\dfrac{2V}{4\pi}}$$
Sabemos que o volume é $V=1L=1000\ cm^3$, então:
$$\boxed{R=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5,42\ cm}$$
$$\boxed{h=\dfrac{1000}{\pi R^2}\approx10,84\ cm}$$
Nesse exercício vamos estudar extremos de função.
Queremos minimizar a superfície de um cilindro mantendo seu volume constante:
$$V=\pi R^2h$$
$$A=2\pi R^2+2\pi Rh=2\pi R(R+h)$$
Da expressão do volume, temos:
$$h=\dfrac{V}{\pi R^2}$$
Substituindo na expressão da área, temos:
$$A=2\pi R\left(R+\dfrac{V}{\pi R^2}\right) =2\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$$
Temos, então a área em função do raio. Vamos derivar e igualar a zero a expressão para encontrar seus extremos:
$$\dfrac{dA}{dR}=4\pi R-\dfrac{2V}{R^2}$$
Zerando, temos:
$$4\pi R=\dfrac{2V}{R^2}$$
$$R=\sqrt[3]{\dfrac{2V}{4\pi}}$$
Sabemos que o volume é $V=1L=1000\ cm^3$, então:
$$\boxed{R=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx 5,42\ cm}$$
$$\boxed{h=\dfrac{1000}{\pi R^2}\approx10,84\ cm}$$
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