Sejam A= (-1,-3,4) e B= (7,1,0) . Determine o ponto P na reta AB tal que ||PB||=||PA||.

Temos que AB = B-A = (8, -2, 4).

Seja  a reta

r: (x, y, z) = λAB

r: (x, y, z) = λ(8, -2, -4)

Encontrar o ponto P tal que ||PA|| = ||PB|| é equivalente a encontrar o ponto médio da reta AB.

No caso, basta tomar λ= 1/2:

P = (1/2)*(8, -2, 4) = (4, -1, -2)

Verificando se ||PA|| = ||PB||:

PA = A - P = (-4, 1, 2)

||PA|| = √21

Neste caso se o ponto P esta na reta B de forma que \(||PB||=||PA||\), então temos que:

\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BP}\)

Onde, \(P=(x,y,z)\).

Assim, temos que:

\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BP}\) 

vai implicar que:

\(A-P=P-B\)

Logo, \(2P=A+B\)

Assim, podemos escrever:

\(2(x,y,z)=(2x,2y,2z)=(-1,-3,4)+(7,1,0)\\=(6,-2,4)\)

Daí podemos concluir que:

\(x=3\), \(y=-1\) e \(z=2\)

Portanto \(P=(3,-1,2)\)