Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:

Question

y(t)=C&sup1;e^(2t)+C&sup2;e^(-3t)
y(t)=C&sup1;e^(-t/2)+C&sup2;e^(-2t)

RD Resoluções · Answer

1. Para solução $y(t)=c_1e^{2t}+c_2e^{-3t}$, tem-se o seguinte:

$\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y'=2c_1e^{2t} -3c_2e^{-3t} \ y''=4c_1e^{2t} +9c_2e^{-3t} \end{matrix} \right.$

Considerando uma equação diferencial no formato $y''+Ay'+By=0$, deve-se descobrir os valores de $A$ e $B$. Portanto, a equação fica da seguinte forma:

$\Longrightarrow (4c_1e^{2t} +9c_2e^{-3t})+A(2c_1e^{2t} -3c_2e^{-3t})+B(c_1e^{2t}+c_2e^{-3t})=0$

$\Longrightarrow c_1e^{2t} (4+2A+B)+c_2e^{-3t} (9-3A+B)=0$

Portanto, as seguintes equações devem ser atendidas:

$\Longrightarrow  \left \{ \begin{matrix} 
4+2A+B=0 \ 
9-3A+B=0 \end{matrix} \right.$

Subtraindo as duas equações do sistema, o valor de $A$ é:

$\Longrightarrow  (4+2A+B)-(9-3A+B)=0-0$

$\Longrightarrow  -5+5A=0$

$\Longrightarrow  5A=5$

$\Longrightarrow \underline{ A=1}$

E o valor de $B$ é:

$\Longrightarrow  4+2A+B=0$

$\Longrightarrow  B=-4-2A$

$\Longrightarrow  B=-4-2\cdot 1$

$\Longrightarrow  \underline {B=-6}$

Concluindo, para solução $y(t)=c_1e^{2t}+c_2e^{-3t}$, a equação diferencial correspondente é:

$\Longrightarrow y''+Ay'+By=0$

$\Longrightarrow \fbox {$  y''+y'-6y=0  $}$

2. Para solução $y(t)=c_1e^{-{1 \over 2}t}+c_2e^{-2t}$, tem-se o seguinte:

$\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 
y'=-{1 \over 2}c_1e^{-{1 \over 2}t}-2c_2e^{-2t} \ 
y''={1 \over 4}c_1e^{-{1 \over 2}t}+4c_2e^{-2t}\end{matrix} \right.$

Considerando uma equação diferencial no formato $y''+Cy'+Dy=0$, deve-se descobrir os valores de $C$ e $D$. Portanto, a equação fica da seguinte forma:

$\Longrightarrow ({1 \over 4}c_1e^{-{1 \over 2}t}+4c_2e^{-2t})+C(-{1 \over 2}c_1e^{-{1 \over 2}t}-2c_2e^{-2t})+D(c_1e^{-{1 \over 2}t}+c_2e^{-2t})=0$

$\Longrightarrow c_1e^{-{1 \over 2}t}({1 \over 4}-{1 \over 2}C+D) + c_2e^{-2t}(4-2C+D)=0$

Portanto, as seguintes equações devem ser atendidas:

$\Longrightarrow  \left \{ \begin{matrix} 
{1 \over 4}-{1 \over 2}C+D=0 \ 
4-2C+D=0 \end{matrix} \right.$

Subtraindo as duas equações do sistema, o valor de $C$ é:

$\Longrightarrow  ({1 \over 4}-{1 \over 2}C+D)- (4-2C+D)=0-0$

$\Longrightarrow  {1 \over 4}-4+(-{1 \over 2}+2)C=0$

$\Longrightarrow  -{15 \over 4}+{3 \over 2}C=0$

$\Longrightarrow  {3 \over 2}C={15 \over 4}$

$\Longrightarrow \underline {  C={5 \over 2}  }$

E o valor de $D$ é:

$\Longrightarrow  4-2C+D=0$

$\Longrightarrow  D=2C-4$

$\Longrightarrow  D=2\cdot {5 \over 2}-4$

$\Longrightarrow \underline { D=1  }$

Concluindo, para solução $y(t)=c_1e^{-{1 \over 2}t}+c_2e^{-2t}$, a equação diferencial correspondente é:

$\Longrightarrow y''+Cy'+Dy=0$

$\Longrightarrow \fbox {$ y''+{5 \over 2}y'+y=0  $}$

Estudante PD · Answer

Na verdade o que você deverá achar é uma equação do segundo grau que tenha raízes 2 ,-3 para a primeira e -1/2 e -2 para a segunda.

Estudante PD · Answer

para primeira x^2 +2x - 3=0 ou d^2y/dx^2 + 2dy/dx - 3y=0.

Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:

Equações Diferenciais I

UFCG

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