Calculo 1

suponha f(x) = x^3 -x é contínua nos pontos dados, então para demoonstra a descontinuidade é só usar um número qualquer fora do intervalo. Exemplo x=2.

Para provar usamos as condições de continuidade. 

i) f(a) existe

ii) lim x→a f(x) existe

iii) lim x→a f(x) = f(a)

se uma os mais das condições forem falsas então, a função será descontínua no ponto.

Nesse exercício vamos estudar continuidade.

Uma função $f(x)$ é contínua em um determinado ponto $x=a$ se, e somente se:

$$\lim\limits_{x\to a}f(a)=f(a)$$

Dessa forma, a função citada não obedece o que se pede no enunciado, visto que ela é contínua em todo o conjunto dos reais.

Uma função semelhante que obedece é a seguinte:

$$f(x)=(x^3-x)\cdot\delta(x)$$

Sendo que $\delta(x)$ resulta em 1 se $x$ for irracional e 0 se $x$ for racional.

Essa função será um pontilhado da função $x^3-x$, sendo que em suas raízes (-1;0;1) a função tende a zero mesmo quando o número for irracional, sendo contínua nesses pontos e somente neles.